Теоретическая механика. Москва 2012 г. Российская открытая академия транспорта

Задача К-2 Сложное движение точки. Полный текст задач

К 2.1 Точка М движется по ободу диска радиуса R = 0,3 м со скоростью v_отн = 4 мс^-1 (рис. К 2.1). Определить абсолютную скорость точки М в указанном положении, если закон вращения диска φ=2t² рад.

К 2.2 Точка М движется по ободу диска радиуса R = 0,2 м согласно уравнению ОМ = 3t²+ 2t м (рис. К 2.2). Определить абсолютную скорость точки М в указанном положении, если закон вращения диска ϕ=2t рад.

К 2.3 Квадратная пластинка вращается вокруг оси OZ с угловой скоростью ω = 3 с^-1. Вдоль стороны плиты движется точка М с постоянной скоростью v_отн = 4 мс^-1 (рис. К 2.3). Определить абсолютную скорость точки М в указанном положении, если сторона пластинки равна 0,3 м.

К 2.4 По стороне треугольника, вращающегося вокруг стороны АВ с угловой скоростью ω = 4 с^-1, движется точка М с постоянной скоростью v_отн = 2 мс^-1 (рис. К 2.4). Определить ускорение Кориолиса, если угол α=30°.

К 2.5 Пластинка АВСД вращается вокруг оси OZ с угловой скоростью ω = 4t² с^-1. По ее стороне ВС в направлении от В к С движется точка М с постоянной скоростью 8 мс^-1 (рис. К 2.5). Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁ = 2 c, если длина АВ = 0,6 м.

К 2.6 Тело в виде полуцилиндра скользит по горизонтальной плоскости со скоростью v = 0,2 мс^-1, поворачивая шарнирно закрепленный в точке А стержень АВ (рис. К 2.6). Определить относительную скорость точки касания М стержня АВ, если угол α =30°.

К 2.7 По диаметру диска, вращающегося вокруг вертикальной оси OZ с угловой скоростью ω = 4t² с^-1, движется точка М со скоростью v_отн = 3t мс^-1 (рис. К 2.7). Определить ускорение Кориолиса точки М в момент времени t₁ = 1 c.

К 2.8 Конус вращается вокруг оси OZ с постоянной угловой скоростью ω = 3 с^-1. По его образующей с постоянной скоростью v_отн = 2 мс^-1 движется точка М в направлении от А к В (рис. К 2.8). Определить абсолютную скорость этой точки в положении, когда расстояние АМ = 0,8 м, если угол α =30°.

К 2.9 Конус, по образующей которого движется точка М согласно уравнению АМ = 2t м, вращается вокруг оси OZ по за- кону ϕ = 4sin (πt/3) (рис. К 2.8). Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁ = 1 c, если угол α =30°.

К 2.10 По стороне АВ прямоугольной пластины, вращающейся в плоскости чертежа вокруг оси О, движется точка М по закону АМ = 2sin (πt/3) м (рис. К 2.10). Определить угловую скорость пластинки ω в момент времени t₁=2 c, если ускорение Кориолиса точки в этом положении равно а_кор = 4π мс^-1.

К 2.11 Диск радиуса R = 0,3 м вращается вокруг оси OZ с угловой скоростью ω = 2 с^-1. По его ободу движется точка с постоянной скоростью v_отн = 2 мс^-1 (рис. К 2.11). Определить абсолютную скорость точки в указанном положении, если угол α =60°.

К 2.12 По стержню АВ шарнирного параллелограмма ОАВО₁ движется точка с постоянной скоростью v_отн = 2 мс^-1 (рис. К 2.12). Определить абсолютную скорость точки М в момент времени, когда угол α =60°. Угловая скорость стержня ОА длиной 0,2 м равна ω = 4 с^-1.

К 2.13 Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси OZ с угловой скоростью ω = 2 с^-1. Шарик М движется вдоль трубки по закону М_оМ = 0,5t² м (рис. К 2.13). Определить ускорение Кориолиса точки М в момент времени t₁ = 1 c.

К 2.14 Треугольная пластинка АВС вращается вокруг оси OZ по закону ϕ = 4t³ рад., а по ее стороне АС движется точка М согласно уравнению АМ = 0,3t² м (рис. К 2.14). Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁ = 1 c.

К 2.15 Звено ОА длиной 0,15 м вращается согласно уравнению ϕ = 4t³ рад. По дуге окружности радиуса r = 0,2 м движется точка М по закону АМ = 2rt м (рис. К 2.15). Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t₁ = π/4 c, когда угол α = 60°.

К 2.16 Стержень ВС кулисного механизма движется со скоростью v = 1 мс^-1 (рис. К 2.16). Для указанного положения механизма определить угловую скорость кулисы ОА, если расстояние ОВ = 0,7 м.

К 2.17 Шары центробежного регулятора Уатта, вращающегося вокруг вертикальной оси Сz с угловой скоростью ω = 2 с^-1, благодаря изменению нагрузки машины отходят от этой оси, имея для своих стержней в данном положении угловую скорость ω = 1,2 с^-1 (рис. К 2.17). Найти абсолютную скорость шаров регулятора, если длина стержней A = 0,5 м, расстояние между осями их подвеса О₁О = 2е = 0,1 м, угол α =30°.

К 2.18 В кулисном механизме при качании кулисы ОА вокруг оси О ползун В, перемещаясь вдоль кулисы, приводит в движение стержень ВС (рис. К 2.18). Определить скорость движения ползуна В относительно кулисы в функции ее угловой скорости ω и угла поворота ϕ.

К 2.19 В кулисном механизме кривошип ОА длиной 0,3 м вращается с угловой скоростью ω = 3π с^-1 (рис. К 2.19). Определить скорость кулисы ВС в момент времени, когда кривошип образует с осью кулисы угол α = 30°.

К 2.20 К валу электромотора, вращающемуся согласно уравнению ϕ = ωt, прикреплен под прямым углом стержень ОА длиной A. Электромотор, установленный без креплений, совершает гармонические колебания по закону x = bcos ωt (рис. К 2.20). Определить абсолютную скорость точки А стержня в момент времени t₁ = π(2ω).

Задача Д1. Первая задача динамики материальной точки. Полный текст задач

Д1.1. Гиря массы m = 0,2 кг подвешена к нити длиной l = 1 м, вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость V = 3 м/с. Определить натяжение нити непосредственно после толчка.

Д1.2. Груз, привязанный к нити длиной l, движется по окружности в вертикальной плоскости. Какую минимальную скорость в наивысшем положении должен иметь груз, чтобы нить оставалась натянутой?

Д1.3. Определить модуль равнодействующей сил, действующих на материальную точку массой т=3кг в момент времени t = 6 с, если она движется по оси Ox согласно уравнению x= 0.4t³+21t.

Д1.4. Вагон массой m=9000 кг скатывается с горки. Какой угол к горизонту должна иметь горка, для того чтобы вагон двигался с ускорением а = 3 м/с²? Угол выразить в градусах.

Д1.5. Точка массой m = 4 кг движется по горизонтальной прямой с ускорением а = 0,3t. Определить модуль силы, действующей на точку в направлении ее движения в момент времени t = 3 с.

Д1.6. Груз массы m = 0,1 кг, подвешенный на нити длиной l = 0,4 м в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, то есть описывает окружность в горизонтальной плоскости, причѐм нить составляет с вертикалью уголα = 30°. Определить скорость груза и натяжение нити.

Д1.7. Автомобиль массы т = 1500 кг движется по вогнутому, участку дороги со скоростью V = 10 м/с. Радиус кривизны в нижней точке дороги = 60 м. Определить силу давления автомобиля на дорогу в момент прохождения этого участка дороги.

Д1.8. Локомотив, двигаясь с ускорением a = 1 м/с² по горизонтальному участку пути, перемещает вагоны массой 60000 кг. Определить силу в автосцепке, если сила сопротивления движению состава равна F_c = 0.002mg.

Д1.9. Тело массой m = 4 кг движется по горизонтальной прямой со скоростью V = 0,9t²+2t. Определить модуль силы, действующей на точку в направлении ее движения в момент времени t = 3 с.

Д1.10. Искусственный спутник Земли описывает круговую орбиту радиуса R на небольшой высоте над поверхностью Земли (изменением силы тяжести на этой высоте по сравнению с силой тяжести на поверхности Земли можно пренебречь). Определить скорость движения спутника по орбите и время одного оборота спутника. Радиус Земли R=6380 км.

Д1.11. Материальная точка массой m=2 кг движется по окружности радиуса R = 0,6 м согласно уравнению S=2,4t². Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке.

Д1.12. Материальная точка массой m=100кг движется в плоскости Оху согласно уравнениям х = at², у = bt, где a=10 и b=100 - постоянные. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.

Д1.13. Груз массы m = 100 кг, подвешенный к концу намотанного на барабан троса, движется с ускорением а = 0,2 g. Определить натяжение троса при подъѐме и опускании груза.

Д1.14. Материальная точка массой m = 16 кг движется по окружности радиуса R = 9 м со скоростью V=3 м/с. Определить проекцию равнодействующей сил, приложенных к точке, на главную нормаль к траектории.

Д1.15. Материальная точка массой m = 9 кг движется в горизонтальной плоскости Оху с ускорением a=4i+3j. Определить модуль силы, действующей на нее в плоскости движения.

Д1.16 .Движение материальной точки массой m = 8 кг происходит в горизонтальной плоскости Оху согласно уравнениям х = 5t и у = t³. Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t = 4 с.

Д1.17. Автомобиль массы m = 1500 кг движется по выпуклому участку дороги со скоростью V = 10 м/с. Радиус кривизны в верхней точке дороги = 60 м. Определить силу давления автомобиля на дорогу в момент прохождения этого участка дороги.

Д1.18. Решето рудообогатительного грохота совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой b=5 см. Найти наименьшую частоту k колебаний решета, при котором куски руды, лежащие на нѐм, отделяются от него и подбрасываются вверх.

Д1.19. Материальная точка массы т движется в плоскости согласно уравнениям х = а соst; y = bsint. Найти силу, действующую на точку.

Д1.20. Определить давление человека массой m = 80 кг на площадку лифта в начале подъѐма и перед остановкой; ускорение (замедление) лифта а = 0,2g.

Д 1.1, Д 1.2 Материальная точка массы m движется в плоскости 0ху согласно уравнениям x = a cos ωt, y = b sin ωt. Найти силу, действующую на точку.

Д 1.3, Д 1.4 Определить давление человека массой m = 80 кг на площадку лифта в начале подъема и перед остановкой; ускорение (замедление) лифта a = 0,2g.

Д 1.5, Д 1.6 Груз массы m = 100 кг, подвешенный к концу намотанного на барабан троса, движется с ускорением a = 0,3g. Определить натяжение троса при подъеме и опускании груза.

Д 1.7, Д 1.8 Решето рудообогатительного грохота совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой b = 5 см. Найти наименьшую частоту ω колебаний решета, при котором куски руды, лежащие на нем, отделяются от него и подбрасывают вверх.

Д 1.9, Д 1.10 Автомобиль массы m = 1500 кг движется по выпуклому участку дороги со скоростью v = 10 м/с. Радиус кривизны в верхней точке дороги ρ = 60 м. Определить силу давления автомобиля на дорогу в момент прохождения этого участка дороги.

Д 1.11, Д 1.12 Автомобиль массы m = 1500 кг движется по вогнутому участку дороги со скоростью v = 15 м/с. Радиус кривизны в нижней точке дороги ρ = 80 м. Определить силу давления автомобиля на дорогу в момент прохождения этого участка дороги.

Д 1.13, Д 1.14 Гиря массы m = 0,3 кг подвешена к нити длиной l = 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость v = 3 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.

Д 1.15, Д 1.16 Груз, привязанный к нити длиной l = 0,5 м, движется по окружности в вертикальной плоскости. Какую минимальную скорость в наивысшем положении должен иметь груз, чтобы нить оставалась натянутой.

Д 1.17, Д 1.18 Груз массы m = 0,2 кг, подвешенный на нити l = 0,4 м в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, то есть описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол α = 30°. Определить скорость груза и натяжением нити.

Д 1.19, Д 1.20 Искусственный спутник Земли описывает круговую орбиту радиуса R на небольшой высоте над поверхностью Земли (изменением силы тяжести на этой высоте по сравнению с силой тяжести на поверхности Земли можно пренебречь). Определить скорость движения спутника по орбите и время одного оборота спутника. Радиус Земли R = 6380 км.