ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Вологда 2014. ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра социально-гуманитарных и естественно-научных дисциплин.

О. Г. Максимова, А. В. Максимов, Я.А. Соловьева

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Вологда 2014. ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.
Кафедра социально-гуманитарных и естест...

Задача С1

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в

точке А шарнирно, а в точке В к шарнирной опоре на катках или к невесомому стержню. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз массой 2500 кг.

На раму действуют пара сил с моментом М=100 кН*м, а также две силы F₁=10 кН и F₂=40 кН. Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,5 м, g=10 м/с²

На раму действуют пара сил с моментом М=100 кН*м, а также две силы F1=10 кН и F2=40 кН. Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые действу...

Задача С2

Две однородные прямоугольные плиты жестко соединены (сварены) под

прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем в точке С. Масса большей плиты 500 кг, меньшей 300 кг.

На плиты действуют пара сил с моментом 4 кН м две силы F₁ и F₂ , равные 6 кН и 8 кН соответственно. Их положение указаны в таблице. Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня. При подсчетах принять а=0,6 м.
• Параллельно оси OX
• Лежит в плоскости XOZ

На плиты действуют пара сил с моментом 4 кН м две силы F1 и F2 , равные 6 кН и 8 кН соответственно. Их положение указаны в таблице. Определить реакц...

Задача К1

Плоский механизм состоит из стержней и ползуна

С, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами шарнирами. Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно
L₁=0,4 м, L₂=1,2 м, L₃=1,4 м, L₄=0,6 м

Задача К2

Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону

φ(t)=4(t²-t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке угловой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О

Задача Д1

Лыжник подходит к точке А участка трамплина

АВ, наклоненного под углом α=20° к горизонту и имеющего длину L, со скоростью V_A. Коэффициент скольжения лыж на участке АВ равен μ=0,1. Лыжник от А до В движется в течение t=0,2 сек. В точке В он покидает трамплин.

Задача Д2

Механическая система состоит из нескольких тел. Их

массы приведены в таблице. Ступенчатый шкив 3 имеет радиусы ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м и радиусом инерции 0,2 м. Масса блока 4 радиуса R₄=0,2 м равномерно распределена по ободу. Тела системы соединены друг с другом нитями. Коэффициент трения грузов о плоскость μ=0,1

Под действием силы F(s) зависящей от перемещения s первого груза, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках). Найти скорость первого груза в тот момент времени, когда его перемещение s=0,2 м

• Задача К1

Вариант 1.
Дано: ω₄=6 1/с, ω₁ и ω₄ величины постоянные. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.
Найти: скорости точек А и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки А; угловое ускорение ε_AB

Вариант 2.
Дано: ω₄=4 1/с, ω₁ и ω₄ величины постоянные. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.
Найти: скорости точек А и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки А; угловое ускорение ε_AB

Вариант 3.
Дано: ω₁=5 1/с, ω₁ величина постоянная. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.
Найти: скорости точек В и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки В; угловое ускорение ε_AB

Вариант 4.
Дано: ω₄=5 1/с, ω₁ и ω₄ величины постоянные. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.
Найти: скорости точек А и C; угловую скорость ω_CD; ускорение точки А; угловое ускорение ε_AB

Вариант 5.
Дано: ω₁=3 1/с, ω₁ и ω₄ величины постоянные. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки.
Найти: скорости точек B и C; угловую скорость ω_CD; ускорение точки B; угловое ускорение ε_AB

Вариант 6.
Дано: ω₁=2 1/с, ε₁=4 1/с². Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки.
Найти: скорости точек B и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки B; угловое ускорение ε_AB

Вариант 7.
Дано: Скорость точки В - 4 м/с, ее ускорение 6 м/с2, их направление указано на рисунке стрелкой.
Найти: скорости точек А и C; угловую скорость ω_CD; ускорение точки А; угловое ускорение ε_AB

Вариант 8.
Дано: ω₁=3 1/с, ε₁=5 1/с². Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки.
Найти: скорости точек В и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки В; угловое ускорение ε_AB

Вариант 9.
Дано: Скорость точки В - 6 м/с, ее ускорение 8 м/с², их направление указано на рисунке стрелкой.
Найти: скорости точек А и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки А; угловое ускорение ε_AB

Вариант 10.
Дано: угловая скорость и угловое ускорение первого стержня соответственно равны 2 1/с и 4 1/с². Они направлены против часовой стрелки.
Найти: скорости точек В и C; угловую скорость ω_AB; ускорение точки В; угловое ускорение ε_AB

• Задача К2

Вариант 1
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=4(t²-t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке угловой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О. По стороне пластины движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=50(3t-t²)-64 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=12 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 2
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=4(t²-t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке угловой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О. По стороне пластины движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=50(3t-t²)-64 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=12 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 3
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=2(t²-t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=60(t³-t²) (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=20 см. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 4.
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=15t-3t³. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве. По пластине вдоль прямой BD движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=60(t-t³)+24 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=8 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 5.
Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=6t²-3t³. Положительное направление угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s=АМ=πR/2(t-2t²). На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А. L=4R/3.
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с

Вариант 6
Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=t²-2t³. Положительное направление угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s=АМ=πR/6(3t-t²). На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А. L=R.
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 7
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=3t²-8t . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке угловой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О. По стороне пластины движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=40(3t²-t⁴)-32 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=16 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t₁=1 с.

Вариант 8
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=3t²-8t. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке угловой стрелкой. Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О. По стороне пластины движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=40(3t²-t⁴)-32 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=16 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t₁=1 с.

Задача 9
Прямоугольная пластина вращается вокруг оси по закону φ(t)=5t-4t². Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD движется точка М, закон ее относительного движения s=AM=40(t²-3t)+32 (s – в сантиметрах, t – в секундах. На рисунке точка М показана в положении, при котором s=АМ>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А). b=12 см.
Найти абсолютную скорость и ускорение точки М в момент времени t=1 с.

Вариант 10.
Круглая пластина радиуса R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=6t²-3t³. Положительное направление угла φ показано на рисунке дуговой стрелкой. Ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По окружности радиуса R движется точка М. Закон ее движения по дуге окружности s=АМ=πR/2(t-2t²). На рисунке точка М показана в положении, когда s положительно, при s отрицательном точка М находится по другую сторону от точки А. L=4R/3.
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с.

• Задача Д1

Вариант 1
Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α=20° к горизонту и имеющего длину L, со скоростью V_A. Коэффициент скольжения лыж на участке АВ равен μ=0,1. Лыжник от А до В движется в течение t=0,2 сек. В точке В он покидает трамплин. Через Т секунд лыжник приземляется в точке С горы, составляющей угол β=30° с горизонтом. Высота h=40 м. При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Принять g=9,8 м/с².
Определить L и скорость в точке С.

Вариант 2
Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α=15° к горизонту и имеющего длину L=5 м, со скоростью V_A=16 м/с . Коэффициент скольжения лыж на участке АВ равен μ=0,1. Лыжник от А до В движется в течение t сек. В точке В он покидает трамплин. Через Т секунд лыжник приземляется в точке С горы, составляющей угол β=45° с горизонтом. При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Принять g=9,8 м/с².
Определить Т и скорость в точке В.

Вариант 3
Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α=15° к горизонту и имеющего длину L, со скоростью V_A. Коэффициент скольжения лыж на участке АВ равен μ=0,1. лыжник от А до В движется в течение t=0,3 сек. В точке В он покидает трамплин. Через Т секунд лыжник приземляется в точке С горы, составляющей угол β=45° с горизонтом. Расстояние ВС равно 60 м. При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. При расчетах принять g=9,8 м/с².
Определить скорости в точках А и В.

Вариант 4
Имея в точке А скорость V_A=0, мотоцикл поднимается t=20 секунд по участку АВ длиной L, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ силе тяги мотора Р , мотоцикл в точке В приобретает скорость V_В и перелетает через ров шириной d=3 м, находясь в воздуха Т секунд и приземляясь в точке С. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m=400 кг, h=1,5 м, α=30°. Принять g=9,8 м/с². При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.
Определить Р и L.

Вариант 5
Имея в точке А скорость V_A=0, мотоцикл поднимается t секунд по участку АВ длиной L= 40 м, составляющему с горизонтом угол α=30°. При постоянной на всем участке АВ силе тяги мотора Р=2,2 кН , мотоцикл в точке В приобретает скорость V_В и перелетает через ров шириной d=5 м, находясь в воздуха Т секунд и приземляясь в точке С со скоростью V_C. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m=400 кг. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению. Принять g=9,8 м/с².
Определить скорости в точках В и С.

Вариант 6
Имея в точке А скорость V_A=0, мотоцикл поднимается t секунд по участку АВ длиной L=50 м, составляющему с горизонтом угол α=30°. При постоянной на всем участке АВ силе тяги мотора Р=2 кН , мотоцикл в точке В приобретает скорость V_В и перелетает через ров шириной d=4 м, находясь в воздуха Т секунд и приземляясь в точке С со скоростью V_C. Высота h=2 м. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению. Принять g=9,8 м/с².
Определить Т и m.

Вариант 7
Камень скользит в течение t сек по участку АВ откоса, составляющему угол α=30° с горизонтом и имеющему длину L=3 м. Его начальная скорость V_A=1 м/с. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен μ=0,2. Имея в точке В скорость V_B, камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. Расстояние d=2,5 м. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать, g=9,8 м/с².
Определить h и Т

Вариант 8
Камень скользит в течение t=1 сек по участку АВ откоса, составляющему угол α=45° с горизонтом и имеющему длину L=6 м. Его начальная скорость V_A. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен μ. Имея в точке В скорость V_B=2V_A, камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену h = 6 м. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.
Определить d и μ.

Вариант 9
Камень скользит в течение t сек по участку АВ откоса, составляющему угол α=30° с горизонтом и имеющему длину L=2 м. Его начальная скорость V_A=0. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен μ=0,1. Имея в точке В скорость V_B, камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. Расстояние d=3 м. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать. Принять g=9,8 м/с².
Определить h и t.

Вариант 10
Тело движется из точки А по участку АВ длиной L наклонной плоскости, составляющей угол α=15° с горизонтом в течение t секунд. Начальная скорость V_A=2 м/с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен μ=0,2. В точке В тело покидает плоскость и попадает в точку С плоскости ВС, наклоненной под углом β=45° к горизонту. Время падения Т, высота h=4 м. При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать. При расчетах принять g=9,8 м/с².
Определить L и Т.