Теоретическая механика.
Для школьников. Под редакцией проф. С.М. Тарга. 1983 г.
Задача С1.
Жесткая рама рис. С1.0 - С1.9) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню BB1 или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и неподвижной опоре шарнирами. На раму действуют пара сил с моментом М = 60 кН•м и две силы, величины которых, направления и точки приложения указаны в таблице
Задача С1. Схемы.
Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять l=0,5 м.
Задача С2.
Однородные брусья AC весом P1=15 H и BD (или BC) весом P2=25 H расположены в вертикальной плоскости (рис. С2.0-С2.9, табл.С2). В точке С брусья или свободно опираются друг о друга (рис. 0-5), или соединены шарниром (рис. 6-9). Внешними связями являются шарнир в точке А, невесомы стержень КК1, шарнир в точке В (на рис. 0-5), выступ Н (на рис. 6) и гладкая плоскость (на рис. 7-9 в точке В)
Задача С2. Схемы.
На брусья кроме сил тяжести действуют пара сил с моментом M=50 H м и сила, величина которой, направление и точка приложения указаны в таблице С2. Определить реакции связей в точках А, В, С, и К (на рис. 6 в точках А, С, К и Н). При окончательных расчётах принять l=0,2 м.
Задача С3.
Однородная прямоугольная плита весом P=3 кH со сторонами AB=3×l, BC=2×l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем CC′ (рис. С3.0-С3.9).
На плиту действует пара сил с моментом М=5 кM·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Величины этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице С3;
Задача С3. Схемы.
при этом силы F1 и F4 лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила F2 – в плоскости, параллельной xz, и сила F3 – в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H,) находятся в серединах сторон плит. Определить реакции связей в точках A, B и C. При подсчётах принять L=0.8 м.
Задача К1а.
Точка В движется в плоскости xy (рис.К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1=1c определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Задача К1а. Схемы.
Зависимость x=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t) дана в табл. К1 (для рис.0-2 в столбце 2, для рис.3-6 в столбце 3, для рис.7-9 в столбце 4). Как в задачах С1, С2 номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.
Задача К2.
Плоский механизм состоит из стержней 1 - 4 и ползуна В, соединённых друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, l4=0,8 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, которые вместе с другими величинами заданы в таблице К2.
Задача К2. Схемы.
Точка D на всех рисунках и точка К на рис 7-9 в середине соотвествующего стержня. Определить велечины указанные в таблице. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки
Задача К3.
Прямоугольная пластина (рис К3.0-К3.5) или круглая пластина радиусом R=60 см (рис К3.6-К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. К3(при знаке минус направление ω противоположно показанному на рисунке). Ось вращения на рисунках 0-3 и 8, 9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 4-7 ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве)
Задача К3. Схемы.
По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. 6-9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = f(t) (s — в сантиметрах, t - в секундах), задан в табл. К.3 отдельно для рих 0-5 и для рис. 6-9, при этом на рис. 6-9 s = AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и l. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1=1 c
Задача Д1.
Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость v0 движется в изогнутой трубе AВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1). На участке AВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения).
Задача Д1. Схемы.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная расстояние AВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС. Трением груза о трубу на участке AВ пренебречь
Задача Д2.
Груз 1 массой m укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. Д2.0 — Д2.9, табл. Д2). Лифт движется вертикально по закону ξ = 0,5α1t2 + α2sin(ωt) + α3cos(ωt) (ось ξ направлена по вертикали вверх; ξ выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R = μv, где v — скорость груза по отношению к лифту. Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х = f(t); начало координат поместить в положении статического равновесия груза
Задача Д2. Схемы.
при неподвижном лифте (во избежание ошибок в знаках направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х>0, т.е. пружина растянута). При подсчетах можно принять g = 10 м/с2. Массой пружин и планки 2 пренебречь. В таблице обозначено: c1, с2, c3 — коэффициенты жесткости пружин, λ0 — удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t = 0
Задача Д3.
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 = 24 кг и груза D массой m2 = 8 кг; плита движется вдоль вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д3.0 — Д3.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д3.5 — Д3.9). В момент времени t0 = 0 груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу; закон его движения s=AD=F(t) задан в табл. Д3,
Задача Д3. Схемы.
где s выражено в метрах, t - в секундах. Форма желоба на рис. 0, 1, 8, 9 - прямолинейная (желоб КЕ), на рис. 2-7 - окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс С1 плиты . Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанное в таблице в стоблцах 4 и 9, где обозначено: x1 - перемещение плиты за время от t0=0 до t1=1 с, u1 - скорость плиты в момент времени t1=1 с, N1 - полная сила нормального давления плиты на направляющие.
Задача Д4.
Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R4=0,3 м, r4=0,1 м, R5=0,2 м, r5=0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д 4.0 – Д 4.9, табл. Д4). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям
Задача Д4. Схемы.
Под действием силы F=f(s) зависящей от перемещения s точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно М4 и М5. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно s1. Искомая величина указана в столбце найти таблицы, где обозначено: v1 – скорость
Задача Д5.
Вертикальный вал АК (рис. Д5.0 — Д5.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с-1, закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д5 в столбце 2 (АВ = BD = DE = ЕК = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l1=0,4 м с точечной массой m1=6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l2=0,6 м, имеющий массу m2=4 кг;
Задача Д5. Схемы.
оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α и β - в столбцах 5—8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять b = 0,4 м
Задача Д6.
Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится в равновесии под действием приложенных сил: положение равновесия определяется углами α, β, γ, φ, θ (рис. Д6.0 — Д6.9, табл. Д6). Длины стержней механизма (кривошипов или коромысел) равны: l1 = 0,4 м, l4 = 1,0 м (размеры l2 и l3 произвольны); точка E на рис. 2 — 6 находится в середине соответствующего стержня. На механизм действуют: на рис. 0—2 — сила F, приложенная к ползуну D,
Задача Д6. Схемы.
и пара сил с моментом М, приложенная к стержню 1; на рис. 3—9 — пары сил с моментами М1 и М2, приложенные к стержням 1 и 4. Система уравновешивается параллельной Вb силой Q, приложенной к ползуну В. Определить, чему равна и в какую сторону направлена эта сила
Задача Д7.
Механическая система состоит из шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, и грузов 3—5, прикрепленных к этим нитям (рис. Д7.0 — Д7.9, табл. Д7). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и двух пар сил с моментом М1, приложенной к шкиву 1, и пары с моментом М2, приложенной к шкиву 2. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R1 = 0,3 м, r1 — 0,15 м, а шкива 2 — R2 = 0,2 м, r2 = 0,1 м;
Задача Д7. Схемы.
их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ1 = 0,2 м и ρ2 = 0,1 м. Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р1, …, Р5 шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах, а моменты - в ньютонметрах. Тот из грузов 3, 4, 5, вес которого равен нулю, на чертеже не изображать; шкивы 1, 2 всегда входят в систему.
Задача Д9.
Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом P1 и P2 с радиусами ступеней R1 = R, r1 = 0,4R; R2 = R, r3 = 0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов 3, 4 и сплошного однородного цилиндрического катка 5 весом P3, P4, P5 соответственно (рис. Д9.0-Д9.9 табл. Д9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы Скользят по плоскостям без трения, а катки катяться без скольжения.
Задача Д9. Схемы.
Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно M1 и M2. Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где обозначено: ε1, ε2 – угловые ускорения шкивов 1 и 2; а3, а4, аС5 – ускорения грузов 3, 4 и центра масс катка 5 соответственно. Когда в задаче надо определить ε1, ε2, считать R = 0,25 м. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему
