Теоретическая механика.
Методические указания и контрольные задания. Издание четвертое. Под редакцией проф. С.М. Тарга. Москва. Высшая школа 1989 г.
Задача С1.
Жесткая рама расположенная в вертикальной плоскости(рис. С1.0 - С1.9) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН•м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице
Задача С1. Схемы.
Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые действующими силами. При окончательных расчетах принять а=0,5 м.
Задача С2.
Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 - С2.5) или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6 - С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или гладкая плоскость или невесомый стержень или шарнир; в точке D или невесомый стержень DD' или шарнирная опора на катках
Задача С2. Схемы.
На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН×м; равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще силы, величины, направления и точки приложения которых даны. Участок, на котором действует распределенная нагрузка, указан в таблице в столбце с названием Участок, направление действия нагрузки указано в таблице
Задача С3.
Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D. Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах H, K, L или M прямоугольного параллелепипида) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим заадчу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q=100 Н.
Задача С3. Схемы.
Сила P образует с положительными направлениям координатных осей x, y, z углы, равные соответственно α1=45°, β1=60°, γ1=60°, а сила Q - углы α2=60°, β2=45°, γ2=60°; направления осей x, y, z для всех рисунков показаны. Грани параллелепипида, параллельные плоскости xy, - квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью xy угол φ=60°, а диагональ параллелепипида образует с этой плоскостью угол θ=51°. Определить усилия в стержнях
Задача С4.
Две однородные тонкие прямоугольные плиты, жестко соединены (сваренны) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2. Все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами. Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты P1=5 кН, вес меньшей плиты P2=3 кН
Задача К1а.
Точка В движется в плоскости xy; траектория точки на рисунках показана условно. Закон движения точки задан уравнениями x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в санитметрах, t - в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1=1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Зависимость x=f1(t) указана на рисунках, а зависимость y=f2(t)
Задача К1б.
Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по закону s=f(t) (s - в метрах, t - в секундах), где s=AM - расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1 с. Изобразить на рисунке векторы v и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s - от А к М
Задача К2.
Механизм состоит из ступенчатых колес 1−3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 - r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 - r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 - r3 = 12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C
Задача К2. Схемы.
В столбце Дано таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ1(t) - закон вращения колеса 1, s4(t) - закон движения рейкти 4, ω2(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2, s - в сантиметрах, t - в секундах. Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице скорости и ускорения соответствующих точек или тел
Задача К3.
Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. K3.0, K3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. K3.8, K3.9), соединённых друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня AB. Длины стержней равны соответственно l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ
Задача К3. Схемы.
Значения этих углов и других заданых велечин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а ω1 и ω4 - велечины постоянные. Определить велечины указанные в таблице. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки
Задача К4.
Прямоугольная пластина (рис. K4.0-K4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. K4.5-K4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=f1(t), заданному в таблице К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось врещения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); ни рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО1 лежит
Задача К4. Схемы.
в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-4) или по окружности радиуса R (рис. 5-9) движется точка М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s=AM=f2(t) (s выражено в сантиметрах, t - в секундах), задан в таблице. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 c
Задача Д1.
Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость v0 движется в изогнутой трубе AВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1). На участке AВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения);
Задача Д1. Схемы.
трением груза о трубу на участке AВ пренебречь. В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная расстояние AВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС
Задача Д2.
Груз 1 массой m укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. Д2.0 — Д2.9, табл. Д2). Лифт движется вертикально по закону z = 0,5α1t2 + α2sin(ωt) + α3cos(ωt) (ось z направлена по вертикали вверх; z выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R = μv, где v — скорость груза по отношению к лифту. Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х = f(t); начало координат поместить в точке, где находится прикрепленный
Задача Д2. Схемы.
к грузу конец пружины, когда пружина не деформирована. При этом во избежание ошибок в знаках направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х>0, т.е. пружина растянута. При подсчетах можно принять g = 10 м/с2. Массой пружин и планки 2 пренебречь. В таблице обозначено: c1, с2, c3 — коэффициенты жесткости пружин, λ0 — удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t = 0
Задача Д3.
Механическая система состоит из грузов D1 массой m1 = 18 кг и D2 массой m2 = 6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m3 = 12 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих. В момент времени t0 = 0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r = 0,4 м и R = 0,8 м. При движении грузов угол φ1 = ∠A2C3D1 изменяется по закону φ1 = f1(t),
Задача Д3. Схемы.
а угол φ2 = ∠A2C3D2 — по закону φ2 = f2(t). В табл. ДЗ эти зависимости даны отдельно, где φ выражено в радианах, t — в секундах. Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце Найти, т. е. x3 = t3(t) и N = f(t), где x3 — координата центра C3 плиты (зависимость x3 = f3(t) определяет закон движения плиты), N — полная нормальная реакция направляющих
Задача Д4.
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 = 18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2 = 6 кг (рис. Д4.0 — Д4.9, табл. Д4). В момент времени t0 = 0, когда скорость плиты u0 = 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. 0—3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s = AD изменяется по закону s = f1(t),
Задача Д4. Схемы.
а на рис. 4—9 желоб — окружность радиуса R = 0,8 м и при движении груза угол φ = ∟AC1D изменяется по закону φ = f2(t). В табл. Д4 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах, φ — в радианах» t — в секундах. Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость u = f(t), т. е. скорость плиты как функцию времени.
Задача Д5.
Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2 м) массой m1 = 24 кг вращается с угловой скоростью ω0 = 10 с-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д5.0 — Д5.9, табл. Д5); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д5.0а (вид сверху). В момент времени t0 = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2 = 8 кг
Задача Д5. Схемы.
по закону s = AD = F(t) где s выражено в метрах, t — в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютонометрах; при М<0 его направление противоположно показанному на рисунках). Определить, пренебрегая массой вала, зависимость ω = f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находится по другую сторону от точки А)
Задача Д6.
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиуса R4 = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д6.0 — Д6.9, табл. Д6); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 — равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными
Задача Д6. Схемы.
на шкив 3. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c. Под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках). Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1 = 0,2 м.
Задача Д7.
Барабан радиуса R весом P имеет выточку (как у катушки) радиуса r = 0,6R (рис. Д7.0 — Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F1 и F2, направления которых определяются углом β; кроме сил на барабан действует пара с моментом М; когда в таблице М<0, направление момента противоположно показанному на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости
Задача Д7. Схемы.
с углом наклона α так, как показано на рисунках. Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. xC = f(t), и наименьшее значение коэффициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.
Задача Д8.
Вертикальный вал АК (рис. Д8.0 — Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с-1, закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = BD = DE = ЕК = a). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1 м, а их массы m1 и m2 пропорциональны длинам),
Задача Д8. Схемы.
и невесомый стержень длиной l = 4b с точечной массой m3 = 3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α, β, γ, φ даны в столбцах 5—8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а = 0,6 м.
Задача Д9.
Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами α, β, γ, φ, θ (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9а и Д9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: l1 = 0,4 м, l4 = 0,6 м (размеры l2 и l3 произвольны); точка Е находится в середине соответствующего стержня. На ползун В механизма действует сила упругости пружины F; численно F = сλ, где с — коэффициент жесткости пружины, λ — ее деформация
Задача Д9. Схемы.
Кроме того, на рис. 0 и 1 на ползун D действует сила Q, а на кривошип O1А — пара сил с моментом М; на рис. 2—9 на кривошипы O1А и O2D действуют пары сил с моментами М1 и M2. Определить, чему равна при равновесии деформация λ пружины, и указать, растянута пружина или сжата. Значения всех заданных величин приведены в табл. Д9а для рис. 0—4 и в табл. Д9б для рис. 5—9, где Q выражено в ньютонах, а М, М1, М2 — в ньютонометрах
Задача Д10.
Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0 — Д10.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R1 = 0,2 м, r1 — 0,1 м, а шкива 2 — R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м;
Задача Д10. Схемы.
их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ1 = 0,1 м и ρ2 = 0,2 м. Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р1, …, Р6 шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).
