ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Сибирский федеральный университет. Красноярск. Сибирский федеральный университет. СФУ. 2010. Под общей редакцией кандидата физико-математических наук Т. А. Вальковой
 
 
 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Статика и кинематика Министерство образования и науки Российской Федерации. Сибирский федеральный университет. Красноярск. СФУ. 2013. Составители: Валькова Татьяна Александровна, Митяев Александр Евгеньевич, Рабецкая Ольга Ивановна
 
 
 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Динамика Министерство образования и науки Российской Федерации. Сибирский федеральный университет. Красноярск. СФУ. 2013. Составители: Валькова Татьяна Александровна, Митяев Александр Евгеньевич, Рабецкая Ольга Ивановна
 
 
 
 
 

Задача С1. Определение реакций опор твердого тела под действием плоской системы сил. Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к неподвижной опоре шарнирами. На раму действуют: пара сил с моментом М=100 Н×м; равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=40 Н/м,

приложенная на участке, указанном в табл. С1 (столбец «Нагруженный участок»); две силы, величины, направления и точки приложения которых заданы в табл. С1. Определить реакции связей в точках А и B рамы, вызванные нагрузками. При расчетах принять l = 0,5 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1.

Задача С2. Определение реакций опор твердого тела под действием пространственной системы сил. Однородная прямоугольная плита весом Р=3 кН со сторонами AB=3l, BC=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (рис. 3.3). На плиту действуют: пара сил с моментом М=6 кН×м, лежащая в плоскости плиты,

и силы, у которых величины, направление и точки приложения, указаны в табл. С2; при этом сила F₁ лежит в плоскости, параллельной XZ, сила F₂ - в плоскости, параллельной YZ, а сила F₃ - в плоскости, параллельной XY. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей плиты в точках А, В и С. При расчетах принять l=0,8 м

Задача К1. Плоский механизм состоит из стержней 1–4 и катка В, катящегося по неподвижной плоскости без скольжения. На рис. 3.5 тела соединены друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ цилиндрическими шарнирами. Длины стержней: l₁=0,4 м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, l₄=0,8 м; радиус катка R=0,2 м

Положение механизма определяется углами a, β, γ, φ, θ, значения которых заданы в табл. К1, при этом значения заданных в этой таблице угловых скоростей ω₁ и ω₄ – величины постоянные. Определить величины, указанные в столбце «Найти» табл. К1, а так-же угловую скорость катка В

Задание К1. Исследование движения точки при координатном способе задания движения. Точка В движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями x=f₁(t), y=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах. Найти уравнение траектории точки

Для момента времени t=1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Зависимость x=f₁(t) указана на схемах рис. 1.5 (траектория точки показана условно), зависимость y=f₂(t) дана в табл. К1 (для схем К1.0–К1.2 – в столбце 2, для схем К1.3–К1.6 – в столбце 3, для схем К1.7–К1.9 – в столбце 4)

Задание К2. Прямоугольная пластина (схемы 0–5) или круглая пластина радиусом R=60 см (схемы 6–9) вращаются вокруг неподвижной оси по закону φ=f₁(t), заданному в табл. К2. Положительное направление отсчета угла φ показано дуговой стрелкой. Ось вращения на схемах 0–3 и 8–9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на схемах 4–7 ось вращения О₁О лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве)

По пластине вдоль прямой ВD (схемы 0–5) или по окружности радиусом R, т. е. по ободу пластины (схемы 6–9), движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f(t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задана, даны размеры b и l. На всех схемах точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s>0 точка М находится по другую сторону от точки А).Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 с

Задача Д1. Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 7.1, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости груза; трением груза о трубу пренебречь
 

В точке В груз, не изменяя численного значения своей скорости, переходит на участок ВС, где на него кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент трения f=0,2) и переменная сила F, параллельная оси х, проекция которой Fx на ось х задана в табл. Д1. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t₁ движения от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х=f(t), где х=ВD

Задача Д1. Схемы. Задача Д1 - на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки. Её решение следует динамики разбить на две части. 1. Сначала составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ и определить ее скорость в точке В, которая будет начальной при движения на участке ВС;
 

Задание Д1. Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V_A, движется в трубе АВ, расположенной в вертикальной плоскости. На груз кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент трения f=0,1) и переменная сила F, параллельная оси х, проекция Fх которой на ось х задана в табл. Д1. Считая груз D материальной точкой, найти его закон движения, т. е. зависимость х=f(t), где х=АD. Определить величину скорости груза в момент времени t₁=1 c

Задача Д2. Механическая система состоит из груза D₁ массой m₁=2 кг, груза D₂ массой m₂=6 кг и из прямоугольной плиты массой m₃=12 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. 7.3). В момент времени t=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по жёлобам, представляющим собой окружности радиусов r=0,4 м и R=0,8 м

При движении грузов угол φ₁ изменяется по закону φ₁=f₁(t), а угол φ₁ - по закону φ₂=f₂(t). В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для вариантов 0-4 и 5-9 рис. 7.3, где φ выражено в радианах, t - в секундах. Считая грузы материальными точками, и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указанной в столбце «Найти» табл. Д2

Задача Д2. Схемы. т. е. x₃=f(t) или N=f(t) , где x₃ - координаты центра масс C₃ плиты (зависимость x₃=f₃(t) определяет закон движения плиты), N - полная нормальная реакция направляющих. Указание. Задача Д2 на применение теоремы о движении центра масс механической системы
 
 
 

Задание Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы. Механическая система (рис. 6.8, табл. Д2) состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения скольжения грузов о плоскость f=0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R₄=0,3 м, r₄=0,1 м, R₅=0,2 м, r₅=0,1 м (массу каждого шкива считать распределенной по его внешнему ободу)

Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием постоянной силы F система приводится в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно М₄ и М₅. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы F равно s₁

Задача Д3. Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁=18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂=6 кг (рис. 7.5, табл. Д3). В момент времени t=0, когда скорость плиты u₀=2 м/с; груз под действием внутренних сил начинает двигаться по жёлобу плиты
 

На рис. 7.5 для вариантов 0-5 жёлобом является окружность радиусом R=0,8 м и угол φ изменяется по закону φ=f₁(t); а для вариантов 6-9 жёлоб KE является прямолинейным и расстояние s=AD изменяется по закону s=f₂(t) . В табл. Д3 эти зависимости даны отдельно для вариантов 0-2, для вариантов 3-5 и т.д., где φ выражено в радианах, s - в метрах, t - в секундах
 

Задача Д3. Схемы. Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость u=f(t), т. е. зависимость скорости плиты как функцию времени. Указание. Задача Д3 на применение теоремы об изменении количества движения механической системы
 
 

Задача Д4. Однородная горизонтальная платформа (круглая радиусом R=1,2 м или прямоугольная со сторонами R и 2R) массой m₁=24 кг вращается с угловой скоростью ω₀=10 c^-1 вокруг вертикальной оси Оz, отстоящей от центра масс С платформы на расстояние ОС=b (рис. 7.7, табл. Д4). В момент времени t=0 под действием внутренних сил по жёлобу платформы начинает двигаться груз D массой m₂=8 кг по закону s₁=AD=f(t)

Задача Д4. Схемы. где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформу начинает действовать пара сил с моментом М, заданный в ньютонометрах (при M<0 его направление противоположно показанному на рис. 7.7).Определить, пренебрегая массой вала, угловую скорость платформы, как функцию времени, т. е. ω=f(t)

Задача Д5. Механическая система (рис. 7.9, табл. Д5) состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения r₃=0,2 м, блока 4 радиусом R₄=0,2 м и катка (или подвижного блока) 5; тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 - равномерно распределенной по его ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,2.

Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках)

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение груза 1 станет равным s₁=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д5, где обозначено: V₁, V₂, V_C5 - скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, ω₃ и ω₄ - угловые скорости тел 3 и 4. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 для варианта 1 на рис. 7.9), катятся по плоскостям без скольжения