Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Статика твердого тела. Кинематика. Динамика

21.3Пример При вращении поворотного крана вокруг оси O₁O₂ с постоянной угловой скоростью ω₁ груз A поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан B. Барабан B радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью ω₂. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
21.4Пример При совмещении работы механизмов подъема груза и перемещения крана груз A перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан B радиуса r=0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз A, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ω=2π рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v=0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза x₀=10 м, y₀=6 м.
21.5Пример Стрела AB поворотного крана вращается вокруг оси O₁O₂ с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от A к B движется тележка с постоянной скоростью v₀. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси O₁O₂.

21.6Пример Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ox со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Oy тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой AB=2,5 см, а длина O₁C=8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка O синусоиды соответствует положению тела при t=0.
21.7Пример Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью v=5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом T=0,5 c. Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ox направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Oy вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
21.8Пример Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид x = a sin (ωt + α), y = b(sin ωt + β).

21.9Пример Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = a sin 2ωt, y = a sin ωt. Найти уравнение траектории.
21.10Пример Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy вертикально вниз.
21.11Пример Резец M совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону x=a sin ωt. Найти уравнение траектории конца резца M относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси O, пересекающей абсолютную траекторию резца.
21.12Пример В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси AB, имеющей в части A винтовую нарезку с шагом h₁ мм, а в части B — нарезку с шагом h₂<h₁. Часть A вращается в неподвижной гайке C, а часть B охватывается элементом D, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы.
1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на 1/n оборота (соответствующая шкала нанесена на диске E), если n=200, h₁=0,5 мм и h₂=0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые.
2) Как изменится показание прибора, если в части A сделать левую нарезку, а в части B — правую?

21.13Пример Ускорительный механизм строгального станка состоит из двух параллельных валов O и O₁, кривошипа OA и кулисы O₁B. Конец кривошипа OA соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе O₁B. Найти уравнение относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы, если кривошип OA длины r вращается с постоянной угловой скоростью ω, расстояние между осями валов OO₁=a.
21.14Пример В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала O, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца A неподвижного кривошипа OA. Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек B поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью ω. Дано: OA=r и AB=l. Оси Ox и Oy имеют начало в центре вала. Принять, что λ=r/l мало.
21.15Пример Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью v₀, направленной под углом α к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).

22.1Пример Корабль движется прямолинейно со скоростью v₀. На высоте h над морем со скоростью v₁ летит самолет тем же курсом. Определить расстояние l, отсчитываемое по горизонтали, на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал на корабль. Сопротивлением воздуха движению вымпела пренебречь.
22.2Пример Решить предыдущую задачу, если самолет летит с той же скоростью навстречу движущемуся кораблю.
22.3Пример Корабль, проходящий точку A, движется с постоянной по модулю и направлению скоростью v₀. Под каким углом β к прямой AB надо начать двигаться катеру из точки B, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна v₁? Линия AB составляет угол ψ₀ с перпендикуляром к курсу корабля.
22.4Пример В предыдущей задаче определить время T, по истечении которого катер встретится с кораблем, если и первоначальное расстояние между ними равнялось AB=l.
22.5Пример Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно неподвижного шарнира O с постоянной угловой скоростью ω. Как будет двигаться точка M пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса R, проходящей также через шарнир O?
22.6Пример Корабль идет курсом ЮВ со скоростью a узлов, при этом флюгер на мачте показывает ветер B. Корабль уменьшает ход до a/2 узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) направление и 2) скорость ветра. Примечание. Наименование курса указывает, куда идет корабль, наименование ветра откуда он дует.

22.7Пример Для определения собственной скорости самолета при ветре на Земле отмечают прямую линию известной длины l, концы которой должны быть хорошо видны сверху. Направление отмеченной прямой должно совпадать с направлением ветра. Вдоль этой прямой самолет пролетел сначала по ветру за время t₁ c, а затем против ветра за время t₂ c. Определить собственную скорость v самолета и скорость V ветра.
22.8Пример Для определения собственной скорости v самолета при ветре размечают на земле треугольный полигон ABC со сторонами BC=l₁, CA=l₂, AB=l₃ м. Для каждой стороны полигона определяют время полета: t₁, t₂, t₃ c. Определить собственную скорость v самолета, предполагая, что она неизменна по величине, и скорость V ветра. Задачу решить графически. Пояснение. Собственной скоростью самолета называется скорость самолета относительно воздуха.
22.9Пример Пассажир движущегося со скоростью 72 км/ч по горизонтальному шоссе автомобиля видит через боковое стекло кабины траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом 40°. Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.
22.10Пример Берега реки параллельны; лодка вышла из точки A и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противоположного берега через 10 мин после отправления. При этом она попала в точку C, лежащую на 120 м ниже точки A по течению реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, попасть из точки A в точку B, лежащую на прямой AB, перпендикулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом к прямой AB и против течения; в этом случае лодка достигает противоположного берега через 12,5 мин. Определить ширину реки l, относительную скорость u лодки по отношению к воде и скорость v течения реки.

22.11Пример Корабль плывет на юг со скоростью 36√2 км/ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 36 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемые наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля.
22.12Пример Линейка AB эллипсографа приводится в движение стержнем OC, вращающимся вокруг оси O с постоянной угловой скоростью ω₀. Кроме того, весь механизм вместе с направляющими вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O, с постоянной угловой скоростью, равной также ω₀. Найти абсолютную скорость произвольной точки M линейки как функцию расстояния AM=l в предположении, что вращение стержня OC и вращение всего механизма происходит в противоположных направлениях.
22.13Пример Решить предыдущую задачу для случая, когда оба вращения происходят в одном направлении
22.14Пример Шары центробежного регулятора Уатта, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω=10 рад/с, благодаря изменению нагрузки машины отходят от этой оси, имея для своих стержней в данном положении угловую скорость ω₁=1,2 рад/с. Найти абсолютную скорость шаров регулятора в рассматриваемый момент, если длина стержней l=0,5 м, расстояние между осями их подвеса 2e=0,1 м, углы, образованные стержнями с осью регулятора, α₁=α₂=α=30°.
22.15Пример В гидравлической турбине вода из направляющего аппарата попадает во вращающееся рабочее колесо, лопатки которого поставлены, во избежание входа воды с ударом, так, чтобы относительная скорость vr касалась лопатки. Найти относительную скорость частицы воды на наружном ободе колеса (в момент входа), если ее абсолютная скорость при входе v=15 м/с, угол между абсолютной скоростью и радиусом α=60°, радиус входа R=2 м, угловая скорость колеса равна π рад/с.

22.16Пример Частицы воды входят в турбину со скоростью u. Угол между скоростью u и касательной к ротору, проведенной в точке входа частицы, равен α. Внешний диаметр ротора D, его число оборотов в минуту n. Определить угол между лопаткой ротора и касательной в точке входа воды, при котором вода будет входить без удара (относительная скорость частиц в этом случае должна быть направлена вдоль лопаток).
22.17Пример В кулисном механизме при качании кривошипа OC вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун A, перемещаясь вдоль кривошипа OC, приводит в движение стержень AB, движущийся в вертикальных направляющих K. Расстояние OK=l. Определить скорость движения ползуна A относительно кровошипа OC в функции от угловой скорости ω и угла поворота φ кривошипа.
22.18Пример Найти абсолютную скорость какой-либо точки M спарника AB, соединяющего кривошипы OA и O₁B осей O и O₁, если радиусы колес одинаковы: R=1 м; радиусы кривошипов: OA=O₁B=0,5 м. Скорость экипажа v₀=20 м/с. Скорость точки M определить для четырех моментов, когда кривошипы OA и O₁B либо вертикальны, либо горизонтальны. Колеса катятся по рельсам без скольжения.
22.19Пример Колеса A и B вагона, движущегося со скоростью v по прямолинейному рельсу, катятся по нему без скольжения. Радиусы колес равны r, и расстояние между осями d. Определить скорость центра колеса A относительно системы координат, неизменно связанной с колесом B.

22.20Пример Механизм состоит из двух параллельных валов O и O₁, кривошипа OA и кулисы O₁B; конец A кривошипа OA скользит вдоль прорези в кулисе O₁B; расстояние между осями валов OO₁ равно a; длина кривошипа OA равна l, причем l>a. Вал O вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найти: 1) угловую скорость ω₁ вала O₁ и относительную скорость точки A по отношению к кулисе O₁B, выразив их через переменную величину O₁A=s; 2) наибольшие и наименьшие значения этих величин; 3) те положения кривошипа, при которых ω₁=ω.
22.21Пример Камень A качающейся кулисы механизма строгального станка приводится в движение зубчатой передачей, состоящей из зубчатки D и зубчатки E, несущей на себе ось камня A в виде пальца. Радиусы зубчаток R=0,1 м, R₁=0,35 м, O₁A=0,3 м, расстояние между осью O₁ зубчатки E и центром B качания кулисы O₁B=0,7 м. Определить угловую скорость кулисы в моменты, когда отрезок O₁A либо вертикален (верхнее и нижнее положения), либо перпендикулярен кулисе AB (левое и правое положения), если зубчатка имеет угловую скорость ω=7 рад/с. Точки O₁ и B расположены на одной вертикали.
22.22Пример Определить угловую скорость вращающейся кулисы кривошипно-кулисного механизма при четырех положениях кривошипа двух вертикальных и двух горизонтальных, если a=60 см, l=80 см и угловая скорость кривошипа равна π рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)

22.23Пример Определить абсолютную скорость поршня ротативного двигателя при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях шатуна AB, если длина кривошипа OA=r=0,24 м, угловая скорость цилиндра с картером равна 40π рад/с. (См. рисунок к задаче 21.14.)
22.24Пример Восточная, северная и вертикальная составляющие скорости точки M относительно Земли соответственно равны v_E, v_N, v_h. Высота точки над поверхностью Земли в данный момент равна h, широта места φ. Радиус Земли R, ее угловая скорость ω. Определить составляющие абсолютной скорости точки.
22.25Пример В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой BC кривошип OA (расположенный позади кулисы) длины l=0,2 м вращается с постоянной угловой скоростью, равной Зπ рад/с. Концом A, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, он сообщает кулисе BC возвратно-поступательное движение. Определить скорость v кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол 30°.
22.26Пример Стержень скользит в вертикальных направляющих, опираясь нижним концом с помощью ролика на поверхность полуцилиндра радиуса r. Полуцилиндр движется по горизонтали вправо с постоянной скоростью v₀. Радиус ролика ρ. Определить скорость стержня, если в начальный момент он находился в наивысшем положении.

22.27Пример На токарном станке обтачивается цилиндр диаметра d=80 мм. Шпиндель делает n=30 об/мин. Скорость продольной подачи v=0,2 мм/с. Определить скорость v_r резца относительно обрабатываемого цилиндра.
23.1Пример Наклонная плоскость AB, составляющая угол 45° с горизонтом, движется прямолинейно параллельно оси Ox с постоянным ускорением 0,1 м/с². По этой плоскости спускается тело P с постоянным относительным ускорением 0,1√2 м/с²; начальные скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение тела определяется координатами x=0, y=h. Определить траекторию, скорость и ускорение абсолютного движения тела.
23.2Пример Велосипедист на некотором участке горизонтального прямолинейного пути движется по закону s=0,1t² (s в метрах, t в секундах). Дано: R=0,35 м, l=0,18 м, z₁=18 зубцов, z₂=48 зубцов. Определить абсолютное ускорение осей M и N велосипедных педалей (предполагая, что колеса катятся без скольжения) при t=10 c, если в этот момент кривошип MN расположен вертикально.
23.3Пример Определить абсолютное ускорение какой-нибудь точки M спарника AB, соединяющего кривошипы осей O и O₁, если экипаж движется по прямолинейному участку пути равномерно со скоростью v₀=10 м/с. Радиусы колес R=1 м, радиусы кривошипов r=0,75 м. (См. рисунок к задаче 22.18.)
23.4Пример Найти скорости и ускорения точек M₁, M₂, M₃ и M₄ гусеницы трактора, движущегося без скольжения по прямолинейному участку пути со скоростью v₀ и ускорением w₀; радиусы колес трактора равны R; скольжением гусеницы по ободу колес пренебречь.

23.5Пример На тележке, движущейся по горизонтали вправо с ускорением w=0,492 м/с², установлен электрический мотор, ротор которого при пуске в ход вращается согласно уравнению φ=t², причем угол φ измеряется в радианах. Радиус ротора равен 0,2 м. Определить абсолютное ускорение точки A, лежащей на ободе ротора, при t=1 c, если в этот момент точка A находится в положении, указанном на рисунке.
23.6Пример Определить в предыдущей задаче угловую скорость равномерного вращения ротора, при которой точка A, находясь в положении B, имеет абсолютное ускорение, равное нулю.
23.7Пример К валу электромотора, вращающегося согласно уравнению φ=ωt (ω=const), прикреплен под прямым углом стержень OA длины l; при этом электромотор, установленный без креплений, совершает горизонтальные гармонические колебания на фундаменте по закону x=a sin ωt. Определить абсолютное ускорение точки A в момент времени t=π/(2ω) c.
23.8Пример Тележка, на которой установлен мотор, движется по горизонтали вправо с постоянным ускорением w=0,4 м/с². Мотор вращается по закону φ=1/2 t². Определить абсолютное ускорение в момент t=1 с четырех точек M₁, M₂, M₃, M₄ ротора, отстоящих от оси ротора на расстоянии l=0,2√2 м и занимающих в этот момент положение, указанное на рисунке.

23.9Пример Автомобиль на прямолинейном участке пути движется с ускорением w₀=2 м/с². На продольный вал насажен вращающийся маховичок радиуса R=0,25 м, имеющий в данный момент угловую скорость ω=4 рад/с и угловое ускорение ε=4 рад/с². Найти абсолютное ускорение точек обода маховичка в данный момент.
23.10Пример Самолет движется прямолинейно с ускорением w₀=const=4 м/с, винт диаметра d=1,8 м вращается равномерно с угловой скоростью равной 60π рад/с. Найти уравнения движения, скорость и ускорение конца винта в системе координат, неподвижной относительно Земли, причем ось Ox этой системы координат совпадает с осью винта. Начальная скорость самолета v₀=0.
23.11Пример В регуляторе, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω=6π рад/с, тяжелые гири A, прикрепленные к концам пружины, совершают гармонические колебания вдоль паза MN таким образом, что расстояние их центров тяжести от оси вращения изменяется по закону x=(0,1+0,05 sin 8πt) м. Определить ускорение центра тяжести гири в момент, когда кориолисово ускорение достигает максимального значения, и указать значение кориолисова ускорения при крайних положениях гири.
23.12Пример Струя воды течет по горизонтальной трубе OA, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, равной 2π рад/с. Определить кориолисово ускорение wc в этой точке струи, где относительная скорость v_r (v_r=21/11 м/с) направлена на OA. Принять для π приближенное значение π=22/7.
23.13Пример Круглая трубка радиуса R=1 м вращается вокруг горизонтальной оси O по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью ω=1 рад/с. В трубке около ее точки A колеблется шарик M, причем так, что угол φ=sin πt. Определить абсолютные ускорения шарика: касательное w_τ и нормальное w_n в момент t=2 1/6 c.

23.14Пример Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска, по часовой стрелке равноускоренно с угловым ускорением 1 рад/с²; в момент t=0 угловая скорость его равна нулю. По одному из диаметров диска колеблется точка M так, что ее координата ξ=sin πt м, причем t в секундах. Определить в момент t=1 2/3 с проекции абсолютного ускорения точки M на оси ξ, η, связанные с диском.
23.15Пример Точка движется равномерно с относительной скоростью v_r по хорде диска, который вращается вокруг своей оси O, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью ω. Определить абсолютные скорость и ускорение точки в тот момент, когда она находится на кратчайшем расстоянии h от оси, в предположении, что относительное движение точки происходит в сторону вращения диска.
23.16Пример Для передачи вращения одного вала к другому, параллельному первому, применяется муфта, которая является обращенным эллиптическим циркулем с закрепленным кривошипом OO₁. Кривошип AB вращается с угловой скоростью ω₁ вокруг оси O₁ и приводит во вращение крестовину вокруг оси O вместе со вторым валом. Определить угловую скорость вращения крестовины, а также переносную и относительную (по отношению к крестовине) скорости и ускорения (переносное, относительное и кориолисово) точки A ползуна при ω₁=const, если OO₁=AO₁=O₁B=a.

23.17Пример Велосипедист движется по горизонтальной платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω=1/2 рад/с; расстояние велосипедиста до оси вращения платформы остается постоянным и равным r=4 м. Относительная скорость велосипедиста v_r=4 м/с и направлена в сторону, противоположную переносной скорости соответствующей точки платформы. Определить абсолютное ускорение велосипедиста. Найти также, с какой относительной скоростью он должен двигаться, чтобы его абсолютное ускорение равнялось нулю.
23.18Пример Компрессор с прямолинейными каналами равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Воздух течет по каналам с постоянной относительной скоростью vr. Найти проекции абсолютной скорости и ускорения на оси координат для частицы воздуха, находящейся в точке C канала AB, при следующих данных: канал AB наклонен к радиусу OC под углом 45°, OC=0,5 м, ω=4π рад/с, v_r=2 м/с.
23.19Пример Решить предыдущую задачу для случая криволинейного канала, если радиус кривизны канала в точке C равен ρ, а угол между нормалью к кривой AB в точке C и радиусом OC равен φ. Радиус CO равен r.
23.20Пример Выразить как функцию времени угловое ускорение ε качающейся кулисы поперечно-строгального станка, если кривошип длины r вращается равномерно с угловой скоростью ω; расстояние между осями вращения кривошипа и кулисы a > r. (См. рисунок к задаче 21.13.)
23.21Пример Камень A совершает переносное движение вместе с кулисой, вращающейся с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε вокруг оси O₁, перпендикулярной плоскости кулисы, и относительное прямолинейное движение вдоль прорези кулисы со скоростью v_r и ускорением w_r. Определить проекции абсолютного ускорения камня на подвижные оси координат, связанные с кулисой, выразив их через переменное расстояние O₁A=s. (См. рисунок к задаче 22.20.)

23.22Пример Определить угловое ускорение вращающейся кулисы кривошипно-кулисного механизма строгального станка при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа l=0,4 м, расстояние между осями кривошипа и кулисы a=0,3 м, угловая скорость равномерного вращения кривошипа ω=3 рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)
23.23Пример Найти ускорение относительного движения камня кулисы вдоль ее прорези в предыдущей задаче при указанных четырех положениях кривошипа.
23.24Пример Найти уравнение движения, скорость и ускорение суппорта M строгального станка, приводимого в движение кривошипно-кулисным механизмом с качающейся кулисой O₁B. Схема указана на рисунке. Кулиса соединена с суппортом M при помощи ползуна B, скользящего относительно суппорта по направляющей, перпендикулярной оси его движения. Дано: O₁B=l, OA=r, O₁O=a, r
23.25Пример Найти ускорение резца строгального станка с качающейся кулисой при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа r=0,1 м, расстояние между центрами вращения кривошипа и кулисы a=0,3 м, длина кулисы l=0,6 м, угловая скорость вращения кривошипа ω=4 рад/с=const. (См. рисунок к задаче 23.24.)
23.26Пример Лопатка AB турбины, вращающейся против часовой стрелки замедленно с угловым ускорением, равным 3 рад/с², имеет радиус кривизны 0,2 м и центр кривизны в точке C, причем OC=0,1√10 м. Частица воды P, отстоящая от оси O турбины на расстоянии OP=0,2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0,25 м/с и касательное ускорение 0,5 м/с² по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы P в тот момент, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.

23.27Пример По радиусу диска, вращающегося вокруг оси O₁O₂ с угловой скоростью ω=2t рад/с в направлении от центра диска к его ободу движется точка M по закону OM=4t² см. Радиус OM составляет с осью O₁O₂ угол 60°. Определить величину абсолютного ускорения точки M в момент t=1 c.
23.28Пример Прямоугольник ABCD вращается вокруг стороны CD с угловой скоростью ω=π/2 рад/с=const. Вдоль стороны AB движется точка M по закону ξ=a sin(πt/2) м. Даны размеры: DA=CB=a м. Определить величину абсолютного ускорения точки в момент времени t=1 c.
23.29Пример Квадрат ABCD со стороною 2a м вращается вокруг стороны AB с постоянной угловой скоростью ω=π√2 рад/с. Вдоль диагонали AC совершает гармоническое колебание точка M по закону ξ=a cos(πt/2) м. Определить величину абсолютного ускорения точки при t=1 с и t=2 c.
23.30Пример Стержень OA вращается вокруг оси z, проходящей через точку O, с угловым замедлением 10 рад/с². Вдоль стержня от точки O скользит шайба M. Определить абсолютное ускорение шайбы в момент, когда она находится на расстоянии 0,6 м от точки O и имеет скорость и ускорение в движении вдоль стержня соответственно 1,2 м/с и 0,9 м/с², если в этот момент угловая скорость стержня равна 5 рад/с.

23.31Пример Шайба M движется по горизонтальному стержню OA, так что OM=0,5t² см. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точки O, по закону φ=t²+t. Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютной скорости и абсолютного ускорения шайбы в момент t=2 c.
23.32Пример Круг радиуса r вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной точки O, лежащей на его окружности. При вращении круг пересекает неподвижную горизонтальную прямую ось x, проходящую через точку O. Найти скорость и ускорение точки M пересечения круга с осью x в движениях этой точки по отношению к кругу и по отношению к оси x. Выразить искомые величины через расстояние OM=x.
23.33Пример Горизонтальная прямая AB перемещается параллельно самой себе по вертикали с постоянной скоростью u и пересекает при этом неподвижный круг радиуса r. Найти скорость и ускорение точки M пересечения прямой с окружностью в движениях этой точки относительно круга и относительно прямой AB в функции от угла φ (см. рисунок).

23.34Пример Полупрямая OA вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки O с постоянной угловой скоростью ω. Вдоль OA перемещается точка M. В момент, когда полупрямая совпадала с осью x, точка M находилась в начале координат. Определить движение точки M относительно полупрямой OA, если известно, что абсолютная скорость v точки M постоянна по величине. Определить также абсолютную траекторию и абсолютное ускорение точки M.
23.35Пример Точка движется с постоянной скоростью v по радиусу диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить абсолютное ускорение точки в тот момент, когда она будет находиться на расстоянии r от центра диска.
23.36Пример Шарик P движется со скоростью 1,2 м/с от A к B по хорде AB диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Найти абсолютное ускорение шарика, когда он находится на кратчайшем расстоянии от центра диска, равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска равна 3 рад/с, угловое замедление равно 8 рад/с².
23.37Пример Решить предыдущую задачу в предположении, что диск вращается вокруг диаметра, параллельного хорде.
23.38Пример Решить задачу 23.36 при условии, что осью вращения диска является диаметр, перпендикулярный хорде.
23.39Пример Корабль, находящийся на экваторе, идет курсом северо-восток. Скорость движения корабля равна 20 узлам. Найти абсолютную скорость и кориолисово ускорение корабля с учетом вращения Земли, считая радиус Земли равным R=6,378*10⁶ м (наименование курса указывает, куда идет судно; узел = 1 морская миля/ч = 1852 м/ч = 0,5144 м/с).

23.40Пример В условиях предыдущей задачи найти абсолютное ускорение корабля, считая его скорость постоянной.
23.41Пример По ободу диска радиуса R, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью ω, движется с постоянной по модулю скоростью v точка M. Найти абсолютное ускорение точки M как функцию угла φ, составленного радиус-вектором точки с осью вращения диска.
23.42Пример Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. По одному из диаметров диска движется точка M так, что ее расстояние от центра диска меняется по закону OM=R sin ωt. Найти абсолютную траекторию, абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.
23.43Пример Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. По хорде AB из ее середины D движется точка M с постоянной относительной скоростью u. Хорда отстоит от центра диска на расстоянии c. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M как функции расстояния DM=x.
23.44Пример По подвижному радиусу диска от центра к ободу движется точка M с постоянной скоростью v_r. Подвижный радиус поворачивается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью ω₁. Плоскость диска вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью ω₂. Найти абсолютную скорость точки M, считая, что при t=0 точка M находилась в центре диска, а подвижный радиус был направлен по оси вращения диска.

23.45Пример Точка движется со скоростью 2 м/с по окружности обода диска диаметра 4 м. Диск вращается в противоположном направлении, имея в данный момент угловую скорость 2 рад/с и угловое ускорение 4 рад/с². Определить абсолютное ускорение точки.
23.46Пример Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, по закону φ=2/3 t³. Вдоль радиуса диска начинает двигаться точка по закону s=4t²-10t+8 (см). Расстояние s измеряется от центра диска. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t=1 c.
23.47Пример Полое кольцо радиуса r жестко соединено с валом AB, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси кольца. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении стрелки с постоянной относительной скоростью u. Вал AB вращается по направлению движения стрелки часов, если смотреть по оси вращения от A к B. Угловая скорость вала ω постоянна. Определить величины абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1, 2, 3 и 4.
23.48Пример По условиям предыдущей задачи, измененным лишь в том отношении, что плоскость оси кольца теперь перпендикулярна оси вала AB, определить те же величины в двух случаях: 1) переносное и относительное движения одного направления; 2) составляющие движения противоположны по направлению.
23.49Пример Точка M равномерно движется по образующей кругового конуса с осью OA от вершины к основанию с относительной скоростью v_r; угол MOA=α. В момент t=0 расстояние OM₀=a. Конус равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти абсолютное ускорение точки M.

23.50Пример Определить в предыдущей задаче величину абсолютного ускорения точки M в момент t=1 с в том случае, когда она движется по образующей конуса с постоянным относительным ускорением wr, направленным от вершины конуса к основанию, при следующих данных: α=30°, a=15 м, w_r=10 м/с², ω=₁ рад/с; в момент t=0 относительная скорость точки v_r равна нулю.
23.51Пример Полагая в задаче 23.49, что конус вращается вокруг своей оси равноускоренно с угловым ускорением ε, определить величину абсолютного ускорения w точки M в момент t=2 с при следующих данных α=30°, a=0,2 м, v_r=0,3 м/с, ε=0,5 рад/с²; в момент t=0 угловая скорость ω равна нулю.
23.52Пример Река ширины 500 м течет с юга на север со скоростью 1,5 м/с. Определить кориолисово ускорение wc частиц воды, находящихся на 60° северной широты. Определить затем, у какого берега вода выше и насколько, если известно, что поверхность воды должна быть перпендикулярна направлению вектора, составленного из ускорения силы тяжести g и вектора, равного и противоположного кориолисову ускорению.
23.53Пример Магистраль южных железных дорог к северу от Мелитополя идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со скоростью v=90 км/ч на север; широта места φ=47°. Найти кориолисово ускорение тепловоза.
23.54Пример По железнодорожному пути, проложенному по параллели северной широты, движется тепловоз со скоростью v_r=20 м/с с запада на восток. Найти кориолисово ускорение wc тепловоза.
23.55Пример Определить кориолисово ускорение точек M₁, M₂, M₃, M₄ колеса электровоза, движущегося по меридиану, в момент пересечения экватора. Скорость центра колеса электровоза v₀=40 м/с.

23.56Пример Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью v_r=1,11 м/с. Определить сумму проекций на касательную BC к соответствующему меридиану тех составляющих ускорений частиц воды, которые зависят от скорости течения. Радиус Земли R=64*10⁵ м.
23.57Пример Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью v_r=1,11 м/с. Найти составляющие абсолютного ускорения частицы воды. Радиус Земли R=64*10⁵ м.
23.58Пример Найти абсолютное ускорение шаров центробежного регулятора Уатта, если он вращается вокруг своей вертикальной оси, имея в данный момент угловую скорость ω=π/2 рад/с при угловом ускорении ε=1 рад/с²; угловая скорость расхождения шаров ω₁=π/2 рад/с при угловом ускорении ε₁=0,4 рад/с². Длина рукояток шаров l=0,5 м, расстояние между осями их привеса 2e=0,1 м, угол раствора регулятора в рассматриваемый момент 2α=90°. Размерами шаров пренебречь, принимая шары за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.)
23.59Пример Найти абсолютное ускорение шаров центробежного регулятора Уатта, если после изменения нагрузки машины регулятор начал вращаться с угловой скоростью ω=π рад/с, причем шары продолжают опускаться в данный момент со скоростью v_r=1 м/с и касательным ускорением w_rτ=0,1 м/с². Угол раствора регулятора 2α=60°; длина рукояток шаров l=0,5 м, расстоянием 2e между их осями привеса можно пренебречь. Шары принять за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.)
23.60Пример Воздушная трапеция ABCD совершает качания вокруг горизонтальной оси O₁O₂ по закону φ=φ₀ sin ωt. Гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине AB, вращается вокруг нее с относительной угловой скоростью ω=const; дано: BC=AD=l. Определить абсолютное ускорение точки M на подошве гимнаста, отстоящей от перекладины AB на расстоянии a в момент t=π/ω c. В начальный момент гимнаст был расположен вертикально, головой вверх: трапеция ABCD занимала вертикальное нижнее положение.

23.61Пример Точка движется по радиусу диска согласно уравнению r=ae^kt, где a, k постоянные величины. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, согласно уравнению φ=kt. Определить абсолютную скорость, абсолютное ускорение, касательное и нормальное ускорения точки.
23.62Пример Точка M движется по поверхности Земли; курс движения k (угол между направлением на север и скоростью v точки относительно Земли), широта места в данный момент равна φ. Определить восточную w_cx, северную w_cy и вертикальную w_cz составляющие кориолисова ускорения точки.
23.63Пример В условиях предыдущей задачи определить величину и направление горизонтальной составляющей кориолисова ускорения точки M.
23.64Пример Высота точки M над поверхностью Земли равна h, широта места φ. Определить восточную w_ex, северную w_ey и вертикальную wez составляющие переносного ускорения точки, обусловленного вращением Земли (R ее радиус, ω угловая скорость).
23.65Пример Восточная, северная и вертикальная проекции скорости точки M относительно Земли соответственно равны v_E, v_N и v_h. Определить проекции относительного ускорения точки на координатные оси x, y, z (ось x направлена на восток, ось y на север, ось z по вертикали), если высота ее над поверхностью Земли в данный момент равна h, а широта места φ (R и ω радиус и угловая скорость Земли).

23.66Пример В условиях предыдущей задачи определить составляющие абсолютного ускорения точки M, движущейся вблизи Земли.
23.67Пример Кривошипно-кулисный механизм приводного молота состоит из прямолинейной кулисы, совершающей возвратно-поступательное движение. Кулиса приводится в движение камнем A, соединенным с концом кривошипа OA=r=0,4 м, который вращается равномерно с угловой скоростью, равной 4π рад/с. При t=0 кулиса занимает нижнее положение. Найти ускорение кулисы.
23.68Пример Кривошип OA=r=0,5 м, приводящий в движение прямолинейную кулису, которая совершает возвратно-поступательное движение, в момент, когда XOA=60°, имеет угловую скорость ω=1 рад/с и угловое ускорение ε=±1 рад/с². Найти ускорение кулисы в указанный момент для двух случаев: 1) когда ε>0 и 2) когда ε<0.
23.69Пример Поступательно движущийся кулак имеет форму полудиска, скользящего по направлению своего диаметра AB с постоянной скоростью v₀. Определить ускорение движения стержня, опирающегося на кулак, перпендикулярного его диаметру AB и свободно скользящего в прорези державки. Радиус ролика равен ρ. В начальный момент стержень находится в верхнем положении.
23.70Пример На токарном станке обтачивается цилиндр диаметра 80 мм. Шпиндель делает 30 об/мин. Скорость продольной подачи постоянна и равна 0,2 мм/с. Определить скорость и ускорение резца относительно обрабатываемого цилиндра.