Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Статика твердого тела. Кинематика. Динамика

4.71 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях мостовой фермы, которая вместе с приложенными к ней силами изображена на рисунке.
4.72 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображенного вместе с приложенными к нему силами на рисунке. Стержни 3 и 4 не соединены шарниром в точке их пересечения.
4.73 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях навесной фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке.

4.74 Пример В узлах стропильной фермы с равными панелями вследствие давления ветра возникают силы, перпендикулярные кровле: P₁=P₄=312,5 Н и P₂=P₃=625 Н. Определить вызываемые ветром реакции опор и усилия в стержнях фермы, размеры которой указаны на рисунке.
5.1 Пример Определить необходимую затяжку болта, скрепляющего две стальные полосы, разрываемые силой P=2 кН. Болт поставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент трения между листами равен 0,2. Указание. Болт не должен работать на срез, поэтому его надо затянуть с такой силой, чтобы развивающееся между листами трение могло предотвратить скольжение листов. Сила, действующая вдоль оси болта, и является искомой затяжкой.

5.2 Пример Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке, склеиваются свободными концами через лист таким образом, что получаются две самостоятельные кипы A и B. Вес каждого листа 0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бумагу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Предполагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонтальное усилие P, необходимое для того, чтобы вытащить вторую кипу.
5.3 Пример Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув некоторой определенной скорости, движется затем равномерно. Определить сопротивление R, которое испытывает вагон при этой скорости, если вес вагона равен 500 кН. Уклоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла.
5.4 Пример Поезд поднимается по прямолинейному пути, имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12000 кН. Какова сила тяги P электровоза, если сопротивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы?
5.5 Пример Негладкой наклонной плоскости придан такой угол α наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту плоскость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сообщена в начале движения. Определить коэффициент трения f.
5.6 Пример Найти угол естественного откоса земляного грунта, если коэффициент трения для этого грунта f=0,8. Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откоса к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в равновесии.

5.7 Пример Ящик веса P стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом β надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.
5.8 Пример Три груза A, B, C веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны f_A=0,1, f_B=0,25 и f_C=0,5 соответственно. Определить угол α, при котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжения тросов T_AB и T_BC.
5.9 Пример На верхней грани прямоугольного бруса B, вес которого 200 Н, находится прямоугольный брус A веса 100 Н. Брус B опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность C, причем коэффициент трения между ними f₂=0,2. Коэффициент трения между брусами A и B f₁=0,5. На брус A действует сила P=60 Н, образующая с горизонтом угол α=30°. Будет ли брус A двигаться относительно B? Будет ли брус B двигаться относительно плоскости C?
5.10 Пример Два тела A и B расположены на наклонной плоскости C так, как показано на рисунке. Тело A весит 100 Н, тело B 200 Н. Коэффициент трения между A и B f₁=0,6, между B и C f₂=0,2. Исследовать состояние системы при различных значениях силы P, приложенной к телу A параллельно наклонной плоскости.

5.11 Пример На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус B веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоугольный брус A веса 200 Н, который, скользя по наклонной плоскости, натягивает трос. Коэффициенты трения с наклонной плоскостью f_A=0,5 и f_B=2/3. Будет ли система в дальнейшем находиться в покое? Найти натяжение T троса и величины сил трения, действующие на каждое тело. Весом троса пренебречь.
5.12 Пример Клин C вставлен между двумя телами A и B, которые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сторона клина вертикальна, другая образует с вертикалью угол α=arctg 1/3. Вес тела A равен 400 Н, а вес тела B 300 Н; коэффициенты трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также значение силы трения F, действующей при этом со стороны горизонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело.
5.13 Пример Цилиндр A лежит в направляющих B, поперечное сечение которых симметричный клин с углом раствора θ. Коэффициент трения между цилиндром A и направляющей B равен f. Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы P цилиндр начнет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол θ, чтобы движение началось при значении силы P, равной весу цилиндра Q?
5.14 Пример Цилиндр веса Q лежит на двух опорах A и B, расположенных симметрично относительно вертикали, проходящей через центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опорами равен f. При какой величине тангенциальной силы T цилиндр начнет вращаться? При каком угле θ это устройство будет самотормозящимся?

5.15 Пример Пренебрегая трением между ползуном A и направляющей, а также трением во всех шарнирах и подшипниках кривошипного механизма, определить, какова должна быть сила P, необходимая для поддерживания груза Q при указанном на рисунке положении механизма. Каковы минимальное и максимальное значения P, обеспечивающие неподвижность груза Q, если коэффициент трения между ползуном A и направляющей равен f?
5.16 Пример Груз B веса P удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ угол трения. Определить натяжение троса как функцию угла α. Найти условие, которому должен удовлетворять угол α, чтобы натяжение троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и блока A пренебречь.
5.17 Пример Груз B веса P удерживается в равновесии при спуске по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом f=tg φ, где φ угол трения. Определить натяжение троса S как функцию угла α. В каких пределах может меняться натяжение троса при равновесии груза B? Размерами груза и блока пренебречь.

5.18 Пример Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через гладкое отверстие A и несущий груз P. Коэффициент трения груза о направляющие f=0,1. Вес груза Q=100 Н, груза P=50 Н. Расстояние от отверстия A до оси направляющих OA=15 см. Определить границы зоны застоя (геометрического места положений равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь.
5.19 Пример Автомобиль удерживается с помощью тормозов на наклонной части дороги. При перемещении тормозной педали на 2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на 0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диаметр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент трения скольжения между тормозными колодками и диском f=0,5. Тормоза всех колес работают одинаково.
5.20 Пример Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Определить границы участков, где равновесие невозможно, если вес груза Q = 100 Н, груза Р = 45 Н, коэффициент трения скольжения f = 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляющих h = 15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь.
5.21 Пример К валу приложена пара сил с моментом M=100 Н*м. На валу заключено тормозное колесо, радиус r которого равен 25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормозные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент трения покоя f между колесом и колодками равен 0,25.

5.22 Пример Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем пазу. Коэффициент трения f не более 0,5. Определить наибольшую высоту h, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери l=0,8 м; центр тяжести двери находится на ее вертикальной оси симметрии.
5.23 Пример Цилиндрический вал веса Q и радиуса R приводится во вращение грузом, подвешенным к нему на веревке; вес груза равен P. Радиус шипов вала r=R/2. Коэффициент трения в подшипниках равен 0,05. Определить, при каком отношении веса Q к весу P груза последний опускается равномерно.
5.24 Пример Кронштейн, нагруженный вертикальной силой P=600 Н, прикреплен к стене двумя болтами. Определить затяжку болтов, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэффициент трения между кронштейном и стеной f=0,3. Для большей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут только верхний болт и что болты поставлены с зазором и не должны работать на срез. Дано b/a > f. Указание. Затяжкой называется усилие, действующее вдоль оси болта. Полная затяжка верхнего болта состоит из двух частей: первая устраняет возможность отрыва кронштейна и опрокидывания его вокруг нижнего болта, вторая обеспечивает то нормальное давление верхней части кронштейна на стену, которое вызывает необходимую силу трения.
5.25 Пример Пест AB приводится в движение пальцами M, насаженными на вал. Вес песта 180 Н. Расстояние между направляющими C и D равно b=1,5 м. Расстояние точки прикосновения пальца к выступу от оси песта a=0,15 м. Найти силу P, необходимую для подъема песта, если принять во внимание силу трения между направляющими C и D и пестом, равную 0,15 давления между трущимися частями.

5.26 Пример Горизонтальный стержень AB имеет на конце A отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD; длина втулки b=2 см; в точке E на расстоянии a от оси стойки к стержню подвешен груз P. Определить, пренебрегая весом стержня AB, расстояние a так, чтобы под действием груза P стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой f=0,1.
5.27 Пример К вертикальной стене приставлена лестница AB, опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения лестницы о стену f₁, о пол f₂. Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен p и приложен в точке C, которая делит длину лестницы в отношении m/n. Определить наибольший угол α, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакций NA стены и NB пола для этого значения α.
5.28 Пример Лестница AB веса P упирается в гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен f. Под каким углом α к полу надо поставить лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху человек, вес которого p?
5.29 Пример Лестница AB опирается на негладкую стену и негладкий пол, составляя с последним угол 60°. На лестнице помещается груз P. Пренебрегая весом лестницы, определить графически наибольшее расстояние BP, при котором лестница остается в покое. Угол трения для стены и пола равен 15°.
5.30 Пример Тяжелый однородный стержень AB лежит на двух опорах C и D, расстояние между которыми CD=a, AC=b. Коэффициент трения стержня об опоры равен f. Угол наклона стержня к горизонту равен α. Какому условию должна удовлетворять длина стержня 2l для того, чтобы стержень находился в равновесии, если толщиной его можно пренебречь?

5.31 Пример Однородный брус опирается в точке A на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке B веревкой. Коэффициент трения бруса о пол равен f. Угол α, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле φ наклона веревки к горизонту брус начнет скользить?
5.32 Пример Однородный стержень своими концами A и B может скользить по негладкой окружности радиуса a. Расстояние OC стержня до центра O окружности, расположенной в вертикальной плоскости, равно b. Коэффициент трения между стержнем и окружностью равен f. Определить для положений равновесия стержня угол φ, составляемый прямой OC с вертикальным диаметром окружности.
5.33 Пример Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d=50 см, вращающихся в противоположные стороны, указанные стрелками на рисунке; расстояние между валами a=0,5 см. Какой толщины b листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов f=0,1? Для работы стана необходимо, чтобы лист захватывался вращающимися валами, т.е. чтобы равнодействующая приложенных к листу нормальных реакций и сил трения в точках A и B была направлена по горизонтали вправо.

5.34 Пример Блок радиуса R снабжен двумя шипами радиуса r, симметрично расположенными относительно его средней плоскости. Шипы опираются на две цилиндрические поверхности AB с горизонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому подвешены грузы P и P₁, причем P > P₁. Определить наименьшую величину груза P1, при которой блок будет находиться в равновесии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндрические поверхности AB равен f, а вес блока с шипами Q. Указанное на рисунке положение системы не может быть положением равновесия; последнее требуется предварительно найти.
5.35 Пример Для опускания грузов употребляется ворот с тормозом, изображенный на рисунке. С барабаном, на который намотана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое тормозят, надавливая на конец A рычага AB, соединенного цепью CD с концом D тормозного рычага ED. Диаметр колеса a=50 см; диаметр барабана b=20 см; ED=120 см; FE=60 см; AB=1 м; BC=10 см. Определить силу P, уравновешивающую груз Q=8 кН, подвешенный к подвижному блоку, если коэффициент трения дерева о сталь f=0,4; размерами колодки F пренебрегаем.
5.36 Пример На гранях AB и BC призмы ABC помещены два одинаковых тела G и H веса P, связанные нитью, перекинутой через блок в точке B. Коэффициент трения между телами и гранями призмы равен f. Углы BAC и BCA равны 45°. Определить, пренебрегая трением на блоке, величину угла α наклона грани AC к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться.

5.37 Пример Глубина заложения опор железнодорожного моста, перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давлением грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт мелкозернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м², вес 1 м³ песка, насыщенного водой, равен 18 кН, вес 1 м³ воды равен 10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в котором заключена каменная опора, 0,18. При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление на 1 м² равно 10(6+0,9h) кН.
5.38 Пример Определить угол α наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса r=50 мм равномерно катится по плоскости. Материал трущихся тел сталь, коэффициент трения качения k=0,05 мм. Ввиду малости угла α можно принять α=tg α.
5.39 Пример Определить силу P, необходимую для равномерного качения цилиндрического катка диаметра 60 см и веса 300 Н по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения качения k=0,5 см, а угол, составляемый силой P с горизонтальной плоскостью, равен α=30°.
5.40 Пример На горизонтальной плоскости лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент трения скольжения шара о плоскость f, коэффициент трения качения k. При каких условиях горизонтальная сила P, приложенная в центре шара, сообщает ему равномерное качение?

5.41 Пример При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рассматривается в равновесии под действием веса судна G, силы поддержания воды D, упора винтов R, а также сил, действующих со стороны льда в точке форштевня K: нормального давления N и максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня φ=30°, коэффициент трения f=0,2. Известны значения G=6000 кН, R=200 кН, a=20 м, b=2 м, e=1 м. Пренебрегая дифферентом судна, определить вертикальное давление судна на ледяной покров P, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести судна l.
5.42 Пример Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной направляющей AB. К грузу прикреплен трос, несущий груз P. Пренебрегая размером блока D, определить: 1) условие, при котором возможна зона застоя (геометрическое место возможных положений равновесия); 2) условие, при котором верхняя граница зоны застоя находится в положительной части оси y; 3) ординаты границ зоны застоя при Q=5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см; 4) ординаты границ зоны застоя при Q=1,5 Н, P=10 Н, f=0,2, OD=10 см.
6.1 Пример Угловой столб составлен из двух одинаково наклоненных брусьев AB и AC, скрепленных в вершине посредством шарнира. Угол BAC=30°. Столб поддерживает два горизонтальных провода AD и AE, составляющих между собой прямой угол. Натяжение каждого провода равно 1 кН. Определить усилия в брусьях, предполагая, что плоскость BAC делит пополам угол DAE, пренебрегая весом брусьев.
6.2 Пример Горизонтальные провода телеграфной линии подвешены к телеграфному столбу AB с подкосом AC и составляют угол DAE=90°. Натяжения проводов AD и AE соответственно равны 120 Н и 160 Н. В точке A крепление шарнирное. Найти угол α между плоскостями BAC и BAE, при котором столб не испытывает бокового изгиба, и определить усилие S в подкосе, если он поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пренебречь.

6.3 Пример Груз Q=100 Н поддерживается брусом AO, шарнирно закрепленным в точке A и наклоненным под углом 45° к горизонту, и двумя горизонтальными цепями BO и CO одинаковой длины; CBO=BCO=45°. Найти усилие S в брусе и натяжения T цепей.
6.4 Пример Найти усилия S₁ и S₂ в стержнях AB и AC и усилие T в тросе AD, если дано, что CBA= BCA=60°, EAD=30°. Вес груза P равен 300 Н. Плоскость ABC горизонтальна. Крепления стержней в точках A, B и C шарнирные.
6.5 Пример Найти усилия в стержне AB и цепях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 420 Н, если AB=145 см, AC=80 см, AD=60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке B шарнирное.
6.6 Пример Определить усилия в тросе AB и в стержнях AC и AD, поддерживающих груз Q веса 180 Н, если AB=170 см, AC=AD=100 см, CD=120 см; CK=KD и плоскость ΔCDA горизонтальна. Крепления стержней в точках A, C и D шарнирные.
6.7 Пример Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН, устроен так, как указано на рисунке; AB=AE=AF=2 м; угол EAF=90°, плоскость крана ABC делит прямой двугранный угол EABF пополам. Определить силу P₁, сжимающую вертикальную стойку AB, а также силы P₂, P₃ и P₄, растягивающие струну BC и тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана.

6.8 Пример Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках A, B и D шарнирные. Определить реакции опор A, B и C.
6.9 Пример Воздушный шар, удерживаемый двумя тросами, находится под действием ветра. Тросы образуют между собой прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с плоскостью горизонта угол 60°. Направление ветра перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара 215,4 м³, вес 1 м³ воздуха 13 Н. Определить натяжения T₁ и T₂ тросов и равнодействующую P сил давления ветра на шар, считая, что линии действия всех сил, приложенных к шару, пересекаются в центре шара.
6.10 Пример На рисунке изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сила P действует на узел A в плоскости прямоугольника ABCD; при этом ее линия действия составляет с вертикалью CA угол 45°. ΔEAK=ΔFBM. Углы равнобедренных треугольников EAK, FBM и NDB при вершинах A, B и D прямые. Определить усилия в стержнях, если P=1 кН.

6.11 Пример Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла α, если дано: AB=BC=AD=AE. Крепления в точках A, B, D и E шарнирные.
6.12 Пример Угловой столб AB, поддерживающий воздушный кабель, удерживается двумя оттяжками AC и AD, причем CBD=90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависимости от угла φ, образованного одной из двух ветвей кабеля с плоскостью CBA. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпендикулярны, натяжения в них одинаковы и равны T.
6.13 Пример Мачта AB удерживается в вертикальном положении посредством четырех симметрично расположенных оттяжек. Угол между каждыми двумя смежными оттяжками равен 60°. Определить давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН, а вес мачты 2 кН.
6.14 Пример Четыре ребра AB, AC, AD и AE правильной пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды AO=10 м и радиус круга, описанного около основания, OC=4,5 м, найти равнодействующую R и расстояние x от точки O до точки пересечения равнодействующей с основанием.

6.15 Пример К вершине B треножника ABCD подвешен груз E, вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек, если известно, что они образуют с вертикалью BE углы в 30°.
6.16 Пример Найти усилия S в ногах AD, BD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес P равномерно поднимаемого груза равен 3 кН. При этом AB=BC=AC. (Вид сверху рисунка аналогичен рис. 6.17.)
6.17 Пример Для подъема из шахты груза P веса 30 кН установлены тренога ABCD и лебедка E. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник ABC равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по отношению к треноге видно из рисунка.
6.18 Пример На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен груз веса P. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров T, выразив искомые величины через P.

6.19 Пример Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен p и приложен к ее середине.
6.20 Пример Три однородных шара A, B и C одинаковых радиусов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар O того же радиуса и также однородный, веса 10 Н, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура T, вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между собою и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
6.21 Пример В точках A, B и C, лежащих на прямоугольных координатных осях на одинаковом расстоянии l от начала координат O, закреплены нити: AD=BD=CD=L, связанные в точке D, координаты которой x = y = z = 1/3 (l - √(3L2 - 2l2)). В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей TA, TB и TC, предполагая, что √(2/3)l < L < l.
7.1 Пример К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлетворять модули сил F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ и F₆, чтобы они находились в равновесии?

7.2 Пример По трем непересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы P. Какое соотношение должно существовать между ребрами a, b и c, чтобы эта система приводилась к одной равнодействующей?
7.3 Пример К четырем вершинам A, H, B и D куба приложены четыре равные по модулю силы: P₁=P₂=P₃=P₄=P, причем сила P₁ направлена по AC, P₂ по HF, P₃ по BE и P₄ по DG. Привести эту систему к простейшему виду.
7.4 Пример К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны a, приложены силы: F₁ по ребру AB, F₂ по ребру CD и F₃ в точке E середине ребра BD. Величины сил F₁ и F₂ какие угодно, а проекции силы F₃ на оси x, y и z равны +F₂5√3/6; -F₂/2; -F₂√(2/3). Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей? Если приводится, то найти координаты x и z точки пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
7.5 Пример К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему виду.

7.6 Пример Систему сил: P₁=8 Н, направленную по Oz, и P₂=12 Н, направленную параллельно Oy, как указано на рисунке, где OA=1,3 м, привести к каноническому виду, определив величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента M относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой оси. Найти углы α, β и γ, составляемые центральной винтовой осью с координатными осями, а также координаты x и y точки встречи ее с плоскостью Oxy.
7.7 Пример Три силы P₁, P₂и P₃ лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения A, B и C находятся на заданных расстояниях a, b и c от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?
7.8 Пример К правильному тетраэдру ABCD с ребрами, равными a, приложена сила F₁ по ребру AB и сила F₂ по ребру CD. Найти координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.

7.9 Пример По ребрам куба, равным a, действуют двенадцать равных по модулю сил P, как указано на рисунке. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
7.10 Пример По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных на рисунке: P₁=4 Н, P₂=6 Н, P₃=3 Н, P₄=2 Н, P₅=6 Н, P₆=8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
7.11 Пример Равнодействующие P=8000 кН и F=5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии H=4 м и h=2,4 м от основания. Сила веса G₁=12000 кН прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса G₂=6000 кН треугольной части на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной грани этого сечения. Ширина плотины в основании b=10 м, в верхней части a=5 м; tg α=5/12. Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.

7.12 Пример Вес радиомачты с бетонным основанием G=140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F=20 кН и равнодействующая сил давления ветра P=50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; H=15 м, h=6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
8.1 Пример На круглой наклонной площадке, ось которой ACD наклонена к вертикали под углом 20°, укреплено в точке B тело веса 400 Н. Определить момент относительно оси AD, создаваемый силой тяжести тела, если радиус CB=3 м горизонтален.
8.2 Пример Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных под углом α=15°=arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое крыло равна 1 кН, направлена по перпендикуляру к плоскости крыла и приложена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения. Найти вращающий момент.
8.3 Пример Электродвигатель, помещенный на оси O колесного ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (P,P) равна 6 кН*м, а радиус колес 60 см. Определить силу тяги Q колесного ската, предполагая, что он стоит на горизонтальных рельсах. Трением качения пренебречь.

8.4 Пример К окружностям трех дисков: A радиуса 15 см, B радиуса 10 см и C радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил, составляющих пары, соответственно равны P₁=10 Н, P₂=20 Н и P. Оси OA, OB и OC лежат в одной плоскости; угол AOB прямой. Определить величину силы P и угол BOC=α так, чтобы система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.
8.5 Пример Подъемный кран установлен на трехколесной тележке ABC. Известны размеры крана: AD=DB=1 м, CD=1,5 м, CM=1 м, KL=4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес крана с противовесом равен P=100 кН и приложен в точке G, лежащей в плоскости LMNF на расстоянии GH=0,5 м от оси крана MN; поднимаемый груз Q весит 30 кН. Найти давление колес на рельсы для такого положения крана, когда плоскость его LMN параллельна AB.
8.6 Пример Временный подъемный кран состоит из пирамиды с горизонтальным основанием в виде равностороннего треугольника ABC и с вертикальной гранью в виде равнобедренного треугольника ADB; в точках O и D шарнирно закреплена вертикальная ось крана, вокруг которой может вращаться стрела OE, несущая груз P. Основание ABC прикреплено к фундаменту подшипниками A и B и вертикальным болтом C. Определить реакции опор при расположении стрелы в плоскости симметрии крана, если вес груза P=12 кН, вес крана Q=6 кН, причем расстояние его центра тяжести S от оси OD равно h=1 м, a=4 м, b=4 м.

8.7 Пример Крышка светового машинного люка удерживается в горизонтальном положении стойкой FG, упирающейся в крышку в точке F на расстоянии EF=1,5 м от оси крышки. Вес крышки P=180 Н; длина ее CD=2,3 м; ширина CE=0,75 м, а расстояния шарниров A и B от краев крышки AE=BC=0,15 м. Найти реакции шарниров A и B и усилие S в стойке FG.
8.8 Пример Однородная прямоугольная пластинка ABCD, опираясь на три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах прямоугольника A и B, а третья в некоторой точке E, удерживается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен P. Давление на опоры в точках A и B соответственно равны P/4 и P/5. Найти давление NE на опору в точке E и координаты этой точки, если длины сторон пластинки равны a и b.
8.9 Пример Стол стоит на трех ножках, концы которых A, B и C образуют равносторонний треугольник со стороной a. Вес стола равен P, причем центр тяжести его расположен на вертикали zOO₁, проходящей через центр O₁ треугольника ABC. На столе помещен груз p в точке M, координаты которой x и y; ось Oy параллельна AB. Определить давление каждой ножки на пол.

8.10 Пример Круглый стол стоит на трех ножках A₁, A₂ и A₃; в центре O помещен груз. Какому условию должны удовлетворять центральные углы φ1, φ2 и φ3 для того, чтобы давления на ножки A₁, A₂ и A₃ относились, как 1:2:√3? При решении задачи берутся моменты сил относительно двух из радиусов OA₁, OA₂ и OA₃.
8.11 Пример Круглая пластинка, весом которой пренебрегаем, покоится в горизонтальном положении, опираясь центром на острие O. Не нарушая равновесия, по окружности пластинки разместили грузы: P₁ веса 1,5 Н, P₂ веса 1 Н и P₃ веса 2 Н. Определить углы α и β.
8.12 Пример Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус 10 см; размеры вала AB указаны на рисунке. Натяжение верхней ведущей ветви ремня T₁=100 Н, нижней ведомой T₂=50 Н. Определить вращающий момент M и реакции подшипников A и B при равновесии системы, пренебрегая весом частей машины; (P,P) пара, образуемая силами сопротивления.
8.13 Пример На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках A и B, действуют: с одной стороны вес тела Q=250 Н, привязанного к шкиву C радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны вес тела P=1 кН, надетого на стержень DE, неизменно скрепленный с валом AB под прямым углом. Даны расстояния: AC=20 см, CD=70 см, BD=10 см. В положении равновесия стержень DE отклонен от вертикали на угол 30°. Определить расстояние l центра тяжести тела P от оси вала AB и реакции подшипников A и B.