Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Статика твердого тела. Кинематика. Динамика

4.9 Пример Однородная плита AB веса P=100 Н свободно опирается в точке A и удерживается под углом 45° к горизонту двумя стержнями BC и BD. BCD равносторонний треугольник. Точки C и D лежат на вертикальной прямой CD. Пренебрегая весом стержней и считая крепления в точках B, C и D шарнирными, определить реакцию опоры A и усилия в стержнях.
4.10 Пример Однородный стержень AB веса 100 Н опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. Y конца B стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок C и несущей груз P; часть веревки BC параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз P и силы давления N_A и N_B на пол и на наклонную плоскость.
4.11 Пример При сборке моста пришлось поднимать часть мостовой фермы ABC тремя канатами, расположенными, как указано на рисунке. Вес этой части фермы 42 кН, центр тяжести находится в точке D. Расстояния соответственно равны: AD=4 м, DB=2 м, BF=1 м. Найти натяжения канатов, если прямая AC горизонтальна.
4.12 Пример Стропила односкатной крыши состоят из бруса AB, у верхнего конца B свободно лежащего на гладкой опоре, а нижним концом A упирающегося в стену. Наклон крыши tg α=0,5; на брус AB приходится вертикальная нагрузка 9 кН, приложенная в середине бруса. Определить реакции опор в точках A и B.

4.13 Пример К гладкой стене прислонена однородная лестница AB под углом 45° к горизонту; вес лестницы 200 Н; в точке D на расстоянии, равном 1/3 длины лестницы, от нижнего конца находится человек веса 600 Н. Найти силы давления лестницы на опору A и на стену.
4.14 Пример На подъемной однородной лестнице длины 6 м и веса 2,4 кН, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси A и наклонена под углом 60° к горизонту, в точке D стоит человек веса 0,8 кН на расстоянии 2 м от конца B. Y конца B лестница поддерживается веревкой BC, наклоненной под углом 75° к горизонту. Определить натяжение T веревки и реакцию A оси.
4.15 Пример Однородная балка AB веса P=100 Н прикреплена к стене шарниром A и удерживается под углом 45° к вертикали при помощи троса, перекинутого через блок и несущего груз G. Ветвь BC троса образует с вертикалью угол 30°. В точке D к балке подвешен груз Q веса 200 Н. Определить вес груза G и реакцию шарнира A, пренебрегая трением на блоке, если BD=1/4 AB.
4.16 Пример Шлюпка висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 9,6 кН, распределяется между ними поровну. Шлюпбалка ABC нижним полу-шаровым концом опирается на подпятник A и на высоте 1,8 м над ним свободно проходит через подшипник B; вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить силы давления ее на опоры A и B.
4.17 Пример Литейный кран ABC имеет вертикальную ось вращения MN; расстояния: MN=5 м; AC=5 м; вес крана 20 кН, центр тяжести его D находится от оси вращения на расстоянии 2 м; вес груза, подвешенного в точке C, равен 30 кН. Найти реакции подшипника M и подпятника N.

4.18 Пример Кран в шахте, поднимающий груз P=40 кН, имеет подпятник A и в точке B опирается на гладкую цилиндрическую поверхность, ось которой Ay вертикальна. Длина хвоста AB равна 2 м. Вылет крана DE=5 м. Вес крана равен 20 кН и приложен в точке C, расстояние которой от вертикали Ay равно 2 м. Определить реакции опор A и B.
4.19 Пример Кран для подъема тяжестей состоит из балки AB, нижний конец которой соединен со стеной шарниром A, а верхний удерживается горизонтальным тросом BC. Определить натяжение T троса BC и давление на опору A, если известно, что вес груза P=2 кН, вес балки AB равен 1 кН и приложен в середине балки, а угол α=45°.
4.20 Пример Кран имеет шарниры в точках A, B и D, причем AB=AD=BD=8 м. Центр тяжести фермы крана находится на расстоянии 5 м от вертикали, проходящей через точку A. Вылет крана, считая от точки A, при этом равен 15 м. Поднимаемый груз весит 200 кН; вес фермы P=120 кН. Определить опорные реакции и натяжение стержня BD для указанного положения крана
4.21 Пример Симметричная стропильная ферма ABC у одного конца шарнирно укреплена в неподвижной точке A, а у другого конца B опирается катками на гладкую горизонтальную плоскость. Вес фермы 100 кН. Сторона AC находится под равномерно распределенным, перпендикулярным ей давлением ветра; равнодействующая сил давления ветра равна 8 кН. Длина AB=6 м, угол CAB=30°. Определить опорные реакции.

4.22 Пример Арочная ферма имеет неподвижный опорный шарнир в точке A, в точке B подвижную гладкую опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом 30°. Пролет AB=20 м. Центр тяжести фермы, вес которой вместе со снеговой нагрузкой равен 100 кН, находится в точке C, расположенной над серединой пролета AB. Равнодействующая сил давления ветра F равна 20 кН и направлена параллельно AB, линия ее действия отстоит от AB на 4 м. Определить опорные реакции.
4.23 Пример Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точках A и B поддерживается наклонными стержнями AE и BF, шарнирно укрепленными в точках E и F. Раскосы фермы и прямая EF наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели BC=3 м; стержни AE и BF одинаковой длины; расстояние EF=3√2 м; AH=2,25√2 м. Вес фермы и нагрузки равен 75 кН и направлен по прямой CG. Найти реакцию катков RD.
4.24 Пример Давление воды на маленькую площадку плотины возрастает пропорционально расстоянию ее от свободной поверхности воды и равно весу столба воды, высота которого равна этому расстоянию, а площадь основания равна взятой площадке. Определить толщину плотины в ее основании в двух случаях: 1) когда поперечное сечение плотины прямоугольное; 2) когда это сечение треугольное. Плотина должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра B давлением воды, причем коэффициент устойчивости должен быть равен 2. Высота h плотины такая же, как глубина воды, и равна 5 м. Удельный вес воды γ=10 кН/м³, удельный вес материала плотины γ₁=22 кН/м³. Коэффициентом устойчивости называется отношение момента веса массива к моменту опрокидывающей силы. Давление воды на площадку плотины длиной 1 м и высотой dy, где y расстояние площадки от дна в метрах, равно в килоньютонах γ(h-y)dy. Момент этого давления относительно точки B равен γ(h-y)y dy. Опрокидывающий момент равен 0h∫γ(h-y)y dy.

4.25 Пример Определить реакции опор A и B балки, находящейся под действием одной сосредоточенной силы и пары сил. Нагрузка и размеры указаны на рисунке.
4.26 Пример Определить реакции опор A и B балки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки. Интенсивность распределенной нагрузки, величины сил и размеры указаны на рисунке.
4.27 Пример Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием сосредоточенной силы и пары сил.
4.28 Пример Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и пары сил.
4.29 Пример Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил.

4.30 Пример Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием пары сил и распределенной нагрузки, изменяющейся по закону треугольника.
4.31 Пример Определить реакцию заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределенной нагрузки, изменяющейся по закону треугольника и трапеции.
4.32 Пример Горизонтальная разрезная балка ACB у конца A заделана в стену, у конца B опирается на подвижную опору; в точке C шарнир. Балка загружена краном, несущим груз P веса 10 кН; вылет KL=4 м, вес крана Q=50 кН, центр тяжести крана лежит на вертикали CD. Размеры указаны на рисунке. Определить, пренебрегая весом балки, опорные реакции в точках A и B для такого положения крана, когда он находится в одной вертикальной плоскости с балкой AB.
4.33 Пример Определить реакции опор A, B, C и шарнира D составной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
4.34 Пример Определить реакции опор A, B, C и шарнира D составной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
4.35 Пример Мост состоит из двух частей, связанных между собой шарниром A и прикрепленных к береговым устоям шарнирами B и C. Вес каждой части моста 40 кН; их центры тяжести D и E; на мосту находится груз P=20 кН; размеры указаны на рисунке. Определить силу давления в шарнире A и реакции в точках B и C.

4.36 Пример На гладкой горизонтальной плоскости стоит передвижная лестница, состоящая из двух частей AC и BC, длины 3 м, веса 120 Н каждая, соединенных шарниром C и веревкой EF; расстояние BF=AE=1 м; центр тяжести каждой из частей AC и BC находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD=0,6 м стоит человек, весящий 720 Н. Определить реакции пола и шарнира, а также натяжение T веревки EF, если угол BAC=ABC=45°.
4.37 Пример Мост состоит из двух одинаковых частей M и N, соединенных между собой и с неподвижными опорами посредством шести стержней, наклоненных к горизонту под углом 45° и снабженных на концах шарнирами. Размеры указаны на рисунке. В точке G помещен груз веса P. Определить те усилия в стержнях, которые вызваны действием этого груза.
4.38 Пример Мост состоит из двух одинаковых горизонтальных балок, соединенных шарниром A и прикрепленных шарнирно к основанию жесткими стержнями 1, 2, 3, 4, причем крайние стержни вертикальны, а средние наклонены к горизонту под углом α=60°. Соответствующие размеры равны: BC=6 м; AB=8 м. Определить усилия в стержнях и реакцию шарнира A, если мост несет вертикальную нагрузку P=15 кН на расстоянии a=4 м от точки B.

4.39 Пример Вдоль мастерской, здание которой поддерживается трехшарнирной аркой, ходит по рельсам мостовой кран. Вес поперечной балки, передвигающейся по рельсам, 12 кН; вес крана 8 кН (кран не нагружен); линия действия веса крана отстоит от левого рельса на расстоянии 0,25 длины балки. Вес каждой половины арки равен 60 кН и приложен на расстоянии 2 м от вертикали, проходящей через соответствующую опору A или B; опорные рельсы мостового крана расположены на расстоянии 1,8 м от этих вертикалей. Высота здания 12 м, ширина пролета 16 м. Равнодействующая сил давления ветра равна 12 кН и направлена параллельно AB, линия ее действия отстоит от AB на 5 м. Определить реакции шарниров A и B и силу давления в шарнире C.
4.40 Пример Груз P=25 Н подвешен к концу горизонтального бруса AB. Вес бруса Q=10 Н и приложен в точке E. Брус прикреплен к стенке посредством шарнира A и подперт стержнем CD, с которым скреплен тоже посредством шарнира. Весом стержня CD пренебрегаем. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции шарниров A и C.
4.41 Пример Два однородных бруса одинаковой длины соединены шарнирно в точке C, а в точках A и B также шарнирно прикреплены к опорам. Вес каждого бруса равен P. В точке C подвешен груз Q. Расстояние AB=d. Расстояние точки С до горизонтальной прямой AB равно b. Определить реакции шарниров A и B.
4.42 Пример Два стержня AC и BD одинаковой длины шарнирно соединены в точке D и так же прикреплены к вертикальной стене в точках A и B. Стержень AC расположен горизонтально, стержень BD образует угол 60° с вертикальной стеной. Стержень AC в точке E нагружен вертикальной силой P₁=40 Н и в точке C силой Q=100 Н, наклоненной к горизонту под углом 45°. Стержень BD в точке F нагружен вертикальной силой P₂=40 Н. Дано: AE=EC, BF=FD. Определить реакции шарниров A и B.

4.43 Пример Подвеска состоит из двух балок AB и CD, соединенных шарнирно в точке D и прикрепленных к потолку шарнирами A и C. Вес балки AB равен 60 Н и приложен в точке E. Вес балки CD равен 50 Н и приложен в точке F. В точке B к балке AB приложена вертикальная сила P=200 Н. Определить реакции в шарнирах A и C, если заданы следующие размеры: AB=1 м; CD=0,8 м; AE=0,4 м; CF=0,4 м; углы наклона балок AB и CD к горизонту соответственно равны: α=60° и β=45°.
4.44 Пример Горизонтальная балка AB длины 2 м, прикрепленная к вертикальному столбу AC в точке A и подпертая подкосом DE, несет на конце груз Q веса 500 Н; столб AC укреплен подкосом FG, причем AE=CG=1 м; подкосы DE и FG наклонены под углом 45° к горизонту. Найти усилия SE и SF в подкосах DE и FG и реакцию грунта в точке C, предполагая, что крепления шарнирные, и пренебрегая весом балки, столба и подкосов.
4.45 Пример В мостовой ферме, изображенной на рисунке, на узлы C и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка P=100 кН; наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6, вызываемые данной нагрузкой.
4.46 Пример В мостовой ферме, изображенной на рисунке, узлы C, D и E загружены одинаковой вертикальной нагрузкой P=100 кН. Наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, вызываемые данной нагрузкой.

4.47 Пример Для сборки моста устроен временный деревянный кран, перемещающийся по рельсам A и B на колесах. К среднему узлу C нижнего пояса DE крана прикреплен блок, служащий для поднятия тяжести с помощью цепи. Вес поднимаемого с подмостей груза P=50 кН, причем в момент отделения его от подмостей направление цепи составляет с вертикалью угол α=20°; во избежание колебаний груза он оттягивается горизонтальным канатом GH. Предполагая, что горизонтальная составляющая натяжения цепи воспринимается одним правым рельсом B, определить усилие S₁ в горизонтальном стержне CF в момент отделения груза от подмостей и сравнить его с тем усилием S₂, которое получилось бы при угле α=0. Размеры указаны на рисунке.
4.48 Пример Найти величину усилия, сжимающего предмет M в прессе, при следующих условиях: усилие P=0,2 кН и направлено перпендикулярно рычагу OA, имеющему неподвижную ось O; в рассматриваемом положении пресса тяж BC перпендикулярен OB и делит ECD пополам, причем CED=arctg 0,2=11°20 ; длина OA=1 м; OB=10 см.
4.49 Пример Цепь OO₁ самозахватывающего грузы приспособления соединена шарниром O со стержнями OC=OD=60 см. Стержни соединены шарнирами же с двумя равными ломаными рычагами CAE и DBF, которые могут вращаться вокруг точек A и B соединительного стержня GH. В шарнирах E и F особые колодки удерживают груз Q=10 кН трением. Расстояние точки E от стержня GH равно EL=50 см, а расстояние ее от стержня OC равно EN=1 м. Высота треугольника COD равна OK=10 см. Найти силу, растягивающую соединительный стержень GH, пренебрегая весом частей механизма.

4.50 Пример Определить реакции шарниров A, C, D, E и H в стержневой системе, изображенной на рисунке, если CE=EH=HD и AC=CB.
4.51 Пример Натяжение приводного ремня, осуществляемое при помощи ломаного рычага AO₂O₁ и натяжного ролика O₁, равно по ту и другую сторону ролика P Н. Найти величину груза Q при равновесии системы, если дано: AO₂O₁=90°, D=55 см, d=15 см, l₁=35 см, l₂=15 см, l₃=45 см, P=18 Н.
4.52 Пример Груз P веса 4,8 кН удерживается на гладкой наклонной плоскости посредством веревки, параллельной плоскости и намотанной на неподвижный вал лебедки ABC. Угол наклона плоскости к горизонту 60°. Вес лебедки Q=2,4 кН, ее центр тяжести находится на прямой CO; лебедка опирается в точке A на гладкий пол, а в точке B прикреплена к полу болтом. Найти опорные реакции, пренебрегая расстоянием веревки от плоскости.
4.53 Пример Однородный стержень AB длины 2l и веса P может вращаться вокруг горизонтальной оси на конце A стержня. Он опирается на однородный стержень CD той же длины 2l, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину E. Точки A и E лежат на одной вертикали на расстоянии AE=l. К концу D подвешен груз Q=2P. Определить угол φ, образуемый стержнем AB с вертикалью в положении равновесия, пренебрегая трением.

4.54 Пример Два однородных стержня AB и AC опираются в точке A на гладкий горизонтальный пол и друг на друга по гладким вертикальным плоскостям, а в точках B и C на гладкие вертикальные стены. Определить расстояние DE между стенами, при котором стержни находятся в положении равновесия, образуя друг с другом угол в 90°, если дано: длина AB равна a, длина AC равна b, вес AB равен P₁, вес AC равен P₂.
4.55 Пример Однородный брусок AB, который может вращаться вокруг горизонтальной оси A, опирается на поверхность гладкого цилиндра радиуса r, лежащего на гладкой горизонтальной плоскости и удерживаемого нерастяжимой нитью AC. Вес бруска 16 Н; длина AB=Зr, AC=2r. Определить натяжение нити T и силу давления бруска на шарнир A.
4.56 Пример Между двумя гладкими наклонными плоскостями OA и OB положены два гладких соприкасающихся однородных цилиндра: цилиндр с центром C₁ веса P₁=10 Н и цилиндр с центром C₂ веса P₂=30 Н. Определить угол φ, составляемый прямой C₁C₂ с горизонтальной осью xOx₁, давления N₁и N₂ цилиндров на плоскости, а также силу N взаимного давления цилиндров, если угол AOx₁=60°, а угол BOx=30°.
4.57 Пример Два гладких однородных шара C₁ и C₂, радиусы которых R₁ и R₂, а веса P₁ и P₂, подвешены на веревках AB и AD в точке A; AB=l₁; AD=l₂; l₁+R₁=l₂+R₂; угол BAD=α. Определить угол θ, образуемый веревкой AD с горизонтальной плоскостью AE, натяжения веревок T₁, T₂ и силу давления одного шара на другой.

4.58 Пример На двух одинаковых круглых однородных цилиндрах радиуса r и веса P каждый, лежащих на горизонтальной плоскости и связанных за центры нерастяжимой нитью длины 2r, покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Определить натяжение нити, давление цилиндров на плоскость и взаимное давление цилиндров. Трением пренебречь.
4.59 Пример Три одинаковых трубы веса M=120 Н каждая лежат, как указано на рисунке. Определить давление каждой из нижних труб на землю и на удерживающие их с боков стенки. Трением пренебречь.
4.60 Пример Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF шарнирно укрепленными в точках E и F. Раскосы фермы и прямая EF наклонены к горизонту под углом 45; Длина панели BC = 3 м; стержни AE, BF одинаковой длины. Расстояние EF = 3√2 м. АН = 2,25√2 м. Вес фермы равен 25 кН и направлен по вертикали, проходящей через точку C. Вес нагрузки 112,5 Н. Определить на каком расстоянии x от точки В нужно расположить нагрузку, чтобы рекция на опоре D стала равна нулю
4.61 Пример Механизм робота-манипулятора представляет собой шарнирный трехзвенник; звенья поворачиваются в вертикальной плоскости. Найти моменты сил приводов в шарнирах A и B механизма робота-манипулятора, необходимые для того чтобы удерживать звенья механизма в горизонтальном положении. Масса объекта манипулирования m_C=15 кг. Длины звеньев: l₁=0,7 м, l2=0,5 м. Звенья однородные и их массы соответственно равны: m₁=35 кг, m₂=25 кг.

4.62 Пример Найти моменты сил приводов в шарнирах механизма робота-манипулятора, находящегося в равновесии, когда второе звено поднято под углом 30° к горизонту. Масса объекта манипулирования m_C=15 кг. Длины звеньев: l₁=0,7 м, l2=0,5 м. Массы звеньев: m₁=35 кг, m₂=25 кг.
4.63 Пример Механизм робота-манипулятора в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости. Длины звеньев: l₁=0,8 м, l₂=0,5 м, l₃=0,3 м. Массы звеньев: m₁=40 кг, m₂=25 кг, m₃=15 кг. Найти моменты сил приводов в шарнирах, если рука CD манипулятора несет груз, масса которого m_D=15 кг. Звенья считать однородными стержнями.
4.64 Пример Рука механизма робота-манипулятора удерживает в равновесии груз, масса которого m_D=15 кг. Пружина разгрузочного устройства, предназначенного для уменьшения нагрузки на привод, действует на первое звено силой F=3000 Н, приложенной на расстоянии AE=0,2 м от шарнира A. Найти моменты сил в шарнирах. Длины звеньев: l₁=0,8 м, l₂=0,5 м, l₃=0,3 м. Массы звеньев: m₁=40 кг, m₂=25 кг, m₃=15 кг. Звенья считать однородными стержнями.
4.65 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях крана, изображенного на рисунке, при нагрузке в 8 кН. Весом стержня пренебречь.

4.66 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях стропильной фермы, изображенной вместе с приложенными к ней силами на рисунке.
4.67 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях пильчатой фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке.

4.68 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана, изображенного вместе с приложенными к нему силами на рисунке.
4.69 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображенного вместе с действующими на него силами на рисунке. Как в этой, так и в следующих задачах ось Ox направлена по горизонтальной прямой AB вправо, а ось Oy по вертикали вверх.
4.70 Пример Определить опорные реакции и усилия в стержнях раскосной фермы, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.