Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Статика твердого тела. Кинематика. Динамика

8.14 Пример На горизонтальный вал AB насажены зубчатое колесо C радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны на рисунке. К колесу C по направлению касательной приложена горизонтальная сила P=100 Н, а к шестерне D, также по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции подшипников A и B в положении равновесия.
8.15 Пример Рабочий удерживает груз Q=800 Н с помощью ворота, схематически изображенного на рисунке; радиус барабана R=5 см; длина рукоятки AK=40 см, AC=CB=50 см. Определить давление P на рукоятку и давления оси ворота на опоры A и B при том положении ворота, когда рукоятка AK горизонтальна; сила P вертикальна.
8.16 Пример С помощью ворота, схематически изображенного на рисунке, удерживается груз Q=1 кН. Радиус барабана R=5 см. Длина рукоятки KD=40 см; AD=30 см; AC=40 см; CB=60 см. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной к горизонту под углом 60°. Определить давление P на рукоятку и реакции опор A и B при том положении ворота, когда рукоятка KD горизонтальна.

8.17 Пример На вал AB ворота намотана веревка, поддерживающая груз Q. Радиус колеса C, насаженного на вал, в шесть раз больше радиуса вала; другие размеры указаны на рисунке. Веревка, намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом P весом 60 Н, сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под углом α=30°. Определить вес груза Q, при котором ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников A и B, пренебрегая весом вала и трением на блоке D.
8.18 Пример Прямоугольная однородная полка ABCD веса G удерживается в горизонтальном положении тросом EH, составляющим с плоскостью полки угол α. Определить натяжение T троса (весом его пренебречь) и реакции петель A и B, если AK=KB=DE=EC и HK перпендикулярно AB.
8.19 Пример Однородная прямоугольная крышка веса P=400 Н удерживается приоткрытой на 60° над горизонтом противовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q и реакции шарниров A и B, если блок D укреплен на одной вертикали с A и AD=AC.
8.20 Пример Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика может вращаться вокруг горизонтальной оси AB на петлях в точках A и B. Горизонтальная веревка CE, параллельная Ax, удерживает крышку под углом DAx=30°. Определить реакции в петлях, если вес крышки 20 Н.

8.21 Пример Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта с одной стороны палочкой DE. Вес крышки 120 Н; AD=AE; угол DAE=60°. Определить реакции шарниров A и B, а также усилие S в палочке, пренебрегая ее весом.
8.22 Пример Фрамуга ABDC веса Q=100 Н открыта на угол α=60°. Дано BD=BH; CE=ED; веревка EF параллельна прямой DH. Определить усилие P, необходимое для удержания фрамуги в равновесии, и реакции петель A и B.
8.23 Пример Разводная часть ABCD моста веса 15 кН поднята цепью CE, перекинутой через блок E на лебедку K. Точка E находится в вертикальной плоскости CBy. Определить для изображенного на рисунке положения натяжение цепи CE и реакции в точках A и B. Центр тяжести разводной части совпадает с центром прямоугольника ABCD.
8.24 Пример Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира A и петли B и удерживается в горизонтальном положении веревкой CE, привязанной в точке C рамы и к гвоздю E, вбитому в стену на одной вертикали с A, причем ECA= BAC=30°. Определить натяжение веревки и опорные реакции.

8.25 Пример Полка ABCD вагона, которая может вращаться вокруг оси AB, удерживается в горизонтальном положении стержнем ED, прикрепленным при помощи шарнира E к вертикальной стене BAE. Вес полки и лежащего на ней груза P равен 800 Н и приложен в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Даны размеры: AB=150 см, AD=60 см, AK=BH=25 см. Длина стержня ED=75 см. Определить усилие S в стержне ED, пренебрегая его весом, и реакции петель K и H.
8.26 Пример Квадратная однородная пластинка ABCD со стороной a=30 см и веса P=5 Н закреплена в точке A при помощи шарового шарнира, а в точке B при помощи цилиндрического шарнира. Сторона AB горизонтальна. В точке E пластинка опирается на острие. В точке H на пластинку действует сила F параллельно стороне AB. Найти реакции в точках A, B и E, если CE=ED, BH=10 см, F=10 Н и пластинка образует с горизонтальной плоскостью угол α=30°.
8.27 Пример Однородная горизонтальная плита веса P, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным устоям шаровыми шарнирами.
8.28 Пример Определить усилия в шести опорных стержнях, поддерживающих квадратную плиту ABCD, при действии горизонтальной силы P вдоль стороны AD. Размеры указаны на рисунке.

8.29 Пример Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения AB, открыта на угол CAD=60° и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна, CD, перекинута через блок и натягивается грузом P=320 Н, другая, EF, привязана к точке F пола. Вес двери 640 Н; ее ширина AC=AD=1,8 м; высота AB=2,4 м. Пренебрегая трением на блоке, определить натяжение T веревки EF, а также реакции цилиндрического шарнира в точке A и подпятника в точке B.
8.30 Пример Стержень AB удерживается в наклонном положении двумя горизонтальными веревками AD и BC. При этом в точке A стержень опирается на вертикальную стену, на которой находится точка D, а в точке B на горизонтальный пол. Точки A и C лежат на одной вертикали. Вес стержня 8 Н. Трением в точках A и B пренебрегаем. Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, и определить натяжения T_A и T_B веревок и реакции опорных плоскостей, если ABC= BCE=60°.
8.30 Пример Пара сил, вращающая водяную турбину T и имеющая момент 1,2 кН*м, уравновешивается давлением на зубец B конического зубчатого колеса OB и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно к радиусу OB=0,6 м и составляет с горизонтом угол α=15°=arctg 0,268. Определить реакции подпятника C и подшипника A, если вес турбины с валом и колесом равен 12 кН и направлен вдоль оси OC, а расстояния AC=3 м, AO=1 м.

8.32 Пример Ветряной двигатель с горизонтальной осью AC имеет четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых составляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси AC, равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу приложена нормально к его плоскости равнодействующая сил давления ветра, равная 1,2 кН (крыло D в проекции на плоскость xy изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке A на подшипник, в точке C на подпятник и удерживается в покое вертикальным давлением P на зубец колеса B, производимым не показанной на рисунке шестерней. Радиус колеса B равен 1,2 м; расстояния: BC=0,5 м, AB=1 м, AF=0,5 м. Определить давление P и реакции опор.
8.33 Пример Груз Q равномерно поднимается мотором M посредством бесконечной цепи. Определить реакции опор A и B и натяжения в цепи, если ветви цепи наклонены к горизонту под углами 30° (ось O₁x₁ параллельна оси Ax). Известно, что r=10 см, R=20 см, Q=10 кН, натяжение ведущей части цепи вдвое больше натяжения ведомой части, т.е. T₁=2T₂.
8.34 Пример Для подъема копровой бабы веса P=3 кН служит вертикальный ворот, вал которого радиуса r=20 см опирается нижним концом на подпятник A, а верхним концом удерживается в подшипнике B. Вал приводится во вращение мотором. Найти необходимый для равномерного подъема копровой бабы вращающий момент мотора, а также реакции в подпятнике A и подшипнике B. При этом дано: h₁=1 м, h=30 см и вес вращающихся частей ворота P₁=1 кН.

8.35 Пример Ворот, служащий для подъема породы из наклонного шурфа, состоит из вала радиуса 0,25 м и длины 1,5 м. Вал приводится во вращение при помощи мотора (на рисунке не показан). Определить реакции опор и вращающий момент Mвр мотора, если вес вала равен 0,8 кН, вес груза 4 кН, коэффициент трения между грузом и поверхностью шурфа равен 0,5, угол наклона шурфа к горизонту равен 30° и место схода троса с вала находится на расстоянии 50 см от подшипника B. Вращение вала считать равномерным.
8.36 Пример Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шкива C и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках A и B. Радиусы шкивов: r_C=20 см, r_D=25 см; расстояния шкивов от подшипников: a=b=50 см; расстояние между шкивами c=100 см. Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив C, горизонтальны и имеют величины T₁ и t₁, причем T₁=2t₁=5 кН, натяжения ветвей ремня, надетого на шкив D, образуют с вертикалью угол α=30° и имеют величины T₂ и t₂, причем T₂=2t₂. Определить натяжения T₂ и t₂ в условиях равновесия и реакции подшипников, вызванные натяжениями ремней.

8.37 Пример Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в середине D шейки коленчатого вала, равно P=20 кН и направлено под углом 10° к горизонту, причем плоскость ODO₁, проходящая через оси вала OO₁ и шейки D, образует с вертикалью угол 30°. От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого параллельны и наклонены к горизонту под углом 30°. Действие силы P уравновешивается натяжениями T и t ветвей каната и реакциями подшипников A и B. Вес маховика 13 кН, диаметр его d=2 м, сумма натяжений ветвей каната T+t=7,5 кН, а указанные на рисунке расстояния равны: точки D от оси OO₁ r=125 мм, l=250 мм, m=300 мм, n=450 мм. Определить реакции подшипников A и B и натяжения t и T.
8.38 Пример Для передачи вращения с одного вала на другой, ему параллельный, установлены два одинаковых вспомогательных шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вращаться в подшипнике M, укрепленном на колонке MN. Треугольное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами A и B и свободно опирается точкой C. Болт A проходит через круглое отверстие в основании, болт же B через продолговатое отверстие, имеющее направление линии AB. Ось колонки проходит через центр треугольника ABC. Определить реакции в точках A, B и C, если расстояние оси KL от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются одинаковыми и равными 600 Н. Ветви правого ремня горизонтальны, а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°. Вес всей установки равен 3 кН и приложен к точке, лежащей на оси колонки; даны размеры: AB=BC=CA=50 см.

8.39 Пример Подвеска подшипника ременного шкива D прикреплена к гладкому горизонтальному потолку MN в точках A и C и упирается в него точкой B. Эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной 30 см. Положение центра ременного шкива D определяется вертикалью EF=40 см, опущенной из центра E треугольника ABC, и горизонталью FD=50 см, параллельной стороне AC. Плоскость шкива перпендикулярна прямой FD. Натяжение P каждой ветви ремня равно 1200 Н и наклонено к вертикали под углом 30°. Определить реакции в опорах A, B и C, пренебрегая весом частей.
8.40 Пример Картина в раме, имеющей форму прямоугольника ABCD, подвешена на вертикальной стене при помощи шнура EKF, надетого на крюк K так, что край AB горизонтален; точки E, F середины сторон AD и BC. Картина наклонена к стене под углом α=arctg(3/4) и опирается на два гвоздя L и M, вбитых в стену, причем AL=MB. Размеры картины: AB=60 см, AD=75 см; вес картины 200 Н и приложен в центре прямоугольника ABCD; длина шнура 85 см. Определить натяжение T шнура и давления на гвозди L и M.

8.41 Пример Бифиляр состоит из однородного стержня AA₁, подвешенного на двух нерастяжимых нитях длины l, которые укреплены в точках B и B₁. Длина стержня AA₁=BB₁=2r, а вес P. Стержень повернут вокруг вертикальной оси на угол α. Определить момент M пары, которую нужно приложить к стержню, чтобы удержать его в равновесии, а также натяжение T нитей.
8.41 Пример Тренога ABDE, имеющая форму правильной пирамиды, укреплена шарнирно на двух консольных балках. Через блок, укрепленный в вершине E треноги, перекинут трос, равномерно поднимающий с помощью лебедки груз веса P. От блока к лебедке трос тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки первой консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги равна l/2.
8.41 Пример Четырехзвенный механизм робота-манипулятора расположен в горизонтальной плоскости Oxy. Длины всех звеньев одинаковы и равны l, масса каждого звена m. Масса объекта манипулирования 2m. Найти моменты сил тяжести относительно координатных осей. Звенья считать однородными стержнями.

9.1 Пример Определить положение центра тяжести C стержневого контура AFBD, состоящего из дуги ADB четверти окружности радиуса FD=R и из дуги полуокружности AFB, построенной на хорде AB как на диаметре. Линейные плотности стержней одинаковы.
9.2 Пример Определить положение центра тяжести C площади, ограниченной полуокружностью AOB радиуса R и двумя прямыми равной длины AD и DB, причем OD=3R.
9.3 Пример Найти центр тяжести C площади кругового сегмента ADB радиуса AO=30 см, если угол AOB=60°.
9.4 Пример Определить положение центра тяжести однородного диска с круглым отверстием, предполагая радиус диска равным r₁, радиус отверстия равным r₂ и центр этого отверстия находящимся на расстоянии r₁/2 от центра диска.
9.5 Пример Определить координаты центра тяжести четверти кольца, показанного на рисунке.
9.6 Пример Найти координаты центра тяжести фигуры, изображенной на рисунке.
9.7 Пример Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен 24 кН/м³, а земляного грунта 16 кН/м³.

9.8 Пример Найти координаты центра тяжести поперечного сечения неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину OA=a, OB=b и толщину AC=BD=d.
9.9 Пример Найти расстояние центра тяжести таврового сечения ABCD от стороны его AC, если высота тавра BD=h, ширина полки AC=a, толщина полки равна d и толщина стенки равна b.
9.10 Пример Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого указаны на рисунке.
9.11 Пример Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рисунке, зная, что AH=2 см, HG=1,5 см, AB=З см, BC=10 см, EF=4 см, ED=2 см.
9.12 Пример В однородной квадратной доске ABCD со стороной AB=2 м вырезано квадратное отверстие EFGH, стороны которого соответственно параллельны сторонами ABCD и равны 0,7 м каждая. Определить координаты x и y центра тяжести оставшейся части доски, зная, что OK=O₁K=0,5 м, где O и O1 центры квадратов, OK и O₁K соответственно параллельны сторонам квадратов.

9.13 Пример Провести через вершину D однородного прямоугольника ABCD прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной по этой прямой трапеции ABED за вершину E сторона AD, равная a, была горизонтальна.
9.14 Пример Дан квадрат ABDC, сторона которого равна a. Найти внутри него такую точку E, чтобы она была центром тяжести площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедренный треугольник AEB.
9.15 Пример Четыре человека несут однородную треугольную пластину. Двое взялись за две вершины, остальные за стороны, примыкающие к третьей вершине. На каком расстоянии от третьей вершины они должны поместиться, для того чтобы каждый из четырех поддерживал четверть полного веса пластины?
9.16 Пример Определить координаты центра тяжести системы грузов, расположенных в вершинах прямоугольного параллелепипеда, ребра которого соответственно равны: AB=20 см, AC=10 см, AD=5 см. Веса грузов в вершинах A, B, C, D, E, F, G, H соответственно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н, 3 Н, 4 Н, 3 Н.
9.17 Пример Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть однородные бруски длиной: OA=0,8 м, OB=0,4 м, OC=0,6 м. Веса брусков равны соответственно: OA=250 Н, OB, OC и CD по 75 Н, CG 200 Н; AF 125 Н, AG и GE по 50 Н, BD, BF, DE и EF по 25 Н.

9.18 Пример Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Длина стержня равна 44 см.
9.19 Пример Найти координаты центра тяжести плоской фермы, состоящей из семи стержней, длины которых указаны на рисунке, если вес 1 м для всех стержней один и тот же.
9.20 Пример Найти координаты центра тяжести деревянного молотка, состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки с квадратным сечением. Дано: a=10 см, b=8 см, c=18 см, d=40 см, l=3 см.
9.21 Пример Корпус легкого крейсера весит 19000 кН. Центр тяжести корпуса находится по вертикали над килем на высоте y₁=6 м. После спуска на воду внутри корпуса установлены главные машины и котлы. Главные машины весят 4500 кН, и ордината центра тяжести их y₂=3 м. Вес котлов равен 5000 кН, и ордината центра тяжести их y₃=4,6 м. Определить ординату y_C общего центра тяжести корпуса, машин и котлов.
9.22 Пример На корабле водоизмещением в 45000 кН груз весом в 300 кН перемещен из носового отсека в кормовой на расстояние 60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и груза?
9.23 Пример Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного параллельно основанию, даны: площадь ABC=a, площадь DEF=b, расстояние между ними h. Найти расстояние z центра тяжести данного усеченного тетраэдра от основания ABC.

9.24 Пример Корпус якорной подводной мины имеет форму цилиндра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндрического пояса r=0,4 м, высота цилиндрического пояса h=2r; высоты сферических сегментов соответственно равны: f₁=0,5r и f₂=0,2r. Найти центр тяжести поверхности корпуса мины.
9.25 Пример Найти предельную высоту h цилиндра, при которой тело, состоящее из цилиндра и полушара одинаковой плотности и одинакового радиуса r, теряет устойчивость в положении равновесия, когда оно опирается поверхностью полушара на гладкую горизонтальную плоскость. Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Расстояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно 3r/8.
9.26 Пример Найти предельную высоту h конуса, при которой тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и радиуса r, теряет устойчивость в положении равновесия при условии предыдущей задачи.
9.27 Пример Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник OAB лежит в плоскости xy, прямоугольный треугольник ODE в плоскости yz (вершина прямого угла точка E), квадрат OBKE в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.

10.1 Пример По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь σ за указанный промежуток времени (s и σ в сантиметрах, t в секундах). 1) s = 5 - 4t + t², 0 ≤ t ≤ 5. 2) s = 1 + 2t - t², 0 ≤ t ≤ 2,5. 3) s = 4 sin 10t, π/20 ≤ t ≤ Зπ/10.
10.2 Пример По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x = 3t - 5, y = 4 - 2t. 2) x = 2t, y = 8t². 3) x = 5 sin 10t, y = 3 cos 10t. 4) x = 2 - 3 cos 5t, y = 4 sin 5t - 1. 5) x = ch t = 1/2 (e^t + e^-t), y = sh t = 1/2 (e^t - e^-t).

10.3 Пример Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (r₀ и e постоянные заданные векторы, i и j координатные орты). 1) r = r₀ + t*e. 2) r = r₀ + cos t*e. 3) r = ai cos(π/(1+t²)) + bj sin (π/(1+t²)).
10.4 Пример По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) x = 3t², y = 4t². 2) x = 3 sin t, y = 3 cos t. 3) x = a cos² t, y = a sin² t. 4) x = 5 cos 5t², y = 5 sin 5t².
10.5 Пример Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x=t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y=1,5t (x и y в метрах, t в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.
10.6 Пример Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x=3 sin t, y=2 cos 2t (t в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t₁, когда траектория пересечет ось Ox.

10.7 Пример При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами x=a sin kt, y=a cos kt, z=vt, где a, k и v некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.
10.8 Пример Гармонические колебания точки определяются законом x=a sin(kt+ε), где a > 0 амплитуда колебаний, k > 0 круговая частота колебаний и ε (-π ≤ ε ≤ π) начальная фаза. Определить центр колебаний a₀, амплитуду, круговую частоту, период T, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (x в сантиметрах, f в секундах): 1) x = -7 cos 12t. 2) x = 4 sin (πt/20) - 3 cos (πt/20). 3) x = 2 - 4 sin 140t. 4) x = 6 sin² 18t. 5) x = 1 - 4 cos² (πt/60).
10.9 Пример Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению x=a sin(kt+Зπ/2), где a в сантиметрах, k в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент x₀=-4 см. Построить также кривую расстояний.
10.10 Пример Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: x=a sin(kt+α), y=b sin(kt+β).
10.11 Пример Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) x = a sin 2ωt, y = a sin ωt; 2) x = a cos 2ωt, y = a cos ωt.

10.12 Пример Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с. Длина OA=AB=80 см. Найти уравнения движения и траекторию средней точки M шатуна, а также уравнение движения ползуна B, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координат указаны на рисунке.
10.13 Пример Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R=1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ox.
10.14 Пример Даны уравнения движения снаряда x = v₀ cos α t, y = v₀ sin α t - gt²/2, где v0 начальная скорость снаряда, α угол между v₀ и горизонтальной осью x, g ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту H, дальность L и время T полета снаряда.
10.15 Пример В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания α дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.
10.16 Пример В условиях задачи 10.14 определить угол бросания α, при котором снаряд попадает в точку A с координатами x и y.
10.17 Пример Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости v₀ и любом угле бросания α).

10.18 Пример Точка движется по винтовой линии x = a cos kt, y = a sin kt, z = vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.
10.19 Пример Даны уравнения движения точки: x = 2a cos²(kt/2), y = a sin kt, где a и k положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
10.20 Пример В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.
10.21 Пример По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах x = R cos2 (kt/2), y = (R/2) sin (kt), z = R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.
10.22 Пример Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид x = Ae^-ht cos(kt + ε), y = Ae^-ht sin(kt + ε), где A > 0, h > 0, k > 0 и ε некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.
10.23 Пример Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата r_C=r_C(t), φ_C=φ_C(t). Найти: 1) законы изменения углов ψ₁ и ψ₂, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси y, отстоящей от нее на расстоянии a по закону y=s(t), где s заданная функция времени t.

11.1 Пример Точка совершает гармонические колебания по закону x=a sin kt. Определить амплитуду a и круговую частоту k колебаний, если при x=x1 скорость v=v₁, а при x=x₂ скорость v=v₂.
11.2 Пример Длина линейки эллипсографа AB=40 см, длина кривошипа OC=20 см, AC=CB. Кривошип равномерно вращается вокруг оси O с угловой скоростью ω. Найти уравнения траектории и годографа скорости точки M линейки, лежащей на расстоянии AM=10 см от конца A.
11.3 Пример Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравнениям x = 2 cos t, y = 4 cos 2t (x, y в сантиметрах, t в секундах). Определить величину и направление скорости точки, когда она находится на оси Oy.
11.4 Пример Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найти скорость середины M шатуна кривошипноползунного механизма и скорость ползуна B в зависимости от времени, если OA=AB=a (см. рисунок к задаче 10.12).
11.5 Пример Движение точки задано уравнениями x = v₀t cos α₀, y = v₀t sin α₀ - gt²/2, причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, v₀, g и α₀ < π/2 величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ox.

11.6 Пример Движение точки задано теми же уравнениями, что и в предыдущей задаче, причем v₀=20 м/с, α₀=60°, g=9,81 м/с². Найти, с какой скоростью v₁ должна выйти из начала координат в момент t=0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно по оси Ox, она встретилась с первой точкой, и определить расстояние x₁ до места встречи.
11.7 Пример Определить высоты h₁, h₂ и h₃ над поверхностью воды трех пунктов отвесного берега, если известно, что три пули, выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными скоростями 50, 75 и 100 м/с, одновременно упали в воду, причем расстояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять во внимание только ускорение силы тяжести g=9,81 м/с². Определить также продолжительность T полета пуль и их скорости v₁, v₂ и v₃ в момент падения в воду.
11.8 Пример Из орудия, ось которого образует угол 30° с горизонтом, выпущен снаряд со скоростью 500 м/с. Предполагая, что снаряд имеет только ускорение силы тяжести g=9,81 м/с², найти годограф скорости снаряда и скорость точки, вычерчивающей годограф.
11.9 Пример Определить уравнения движения и траекторию точки колеса электровоза радиуса R=1 м, лежащей на расстоянии a=0,5 м от оси, если колесо катится без скольжения по горизонтальному прямолинейному участку пути; скорость оси колеса v=10 м/с. Ось Ox совпадает с рельсом, ось Oy с радиусом точки при ее начальном низшем положении. Определить также скорость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное положения.

11.10 Пример Скорость электровоза v₀=72 км/ч; радиус колеса его R=1 м; колесо катится по прямолинейному рельсу без скольжения. 1) Определить величину и направление скорости v точки M на ободе колеса в тот момент, когда радиус точки M составляет с направлением скорости v₀ угол π/2+α. 2) Построить годограф скорости точки M и определить скорость v₁ точки, вычерчивающей годограф.
11.11 Пример Определить уравнения движения и траекторию точки M колеса вагона радиуса R=0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии a=0,6 м и лежащей в начальный момент на 0,1 м ниже рельса, если вагон движется по прямолинейному пути со скоростью v=10 м/с. Найти также моменты времени, когда эта точка будет проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее скорости на оси Ox, Oy в эти моменты времени. Ось Ox совпадает с рельсом, ось Oy проходит через начальное нижнее положение точки.
11.12 Пример Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям x = Ae^-ht cos (kt + ε), y = Ae^-ht sin (kt + ε). Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных координат и найти модуль скорости точки.
11.13 Пример Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным курсовым углом α к географическому меридиану? Корабль принять за точку, движущуюся по поверхности земного шара. Указание. Воспользоваться сферическими координатами r, λ и φ.

11.14 Пример Уравнения движения точки M в цилиндрической системе координат имеют вид (см. задачу 10.8) r = a, φ = kt, z = vt. Найти проекции скорости точки M на оси цилиндрической системы координат, уравнения движения точки M₁, описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки M₁.
11.15 Пример Точка M движется по окружности согласно уравнениям r = 2a cos (kt/2), φ = kt/2 (r, φ полярные координаты). Найти проекции скорости точки M на оси полярной системы координат, уравнения движения точки M₁, описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки M₁.
11.16 Пример Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям r = R, φ = kt/2, θ = kt/2 (r, φ, θ сферические координаты; см. задачу 10.21). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.
11.17 Пример Найти в полярных координатах (r, φ) уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга α на неподвижную точку (угол между направлением скорости и направлением на точку), если дано: α и r_φ=0=r₀. Корабль принять за точку, движущуюся на плоскости, и за полюс взять произвольную неподвижную точку в этой плоскости. Исследовать частные случаи α=0, π/2 и π.

12.1 Пример Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получает замедление, равное 0,4 м/с². Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение.
12.2 Пример Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным.
12.3 Пример Водяные капли вытекают из отверстия вертикальной трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением 9,81 м/с². Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 с после момента истечения первой капли.
12.4 Пример Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути l=1200 м, считая, что замедление постоянно.
12.5 Пример Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с²?
12.6 Пример Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением w_x=-π² sin π/2 t м/с². Найти уравнение движения ползуна, если его начальная скорость v^0x=2π м/с, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений.
12.7 Пример Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 c. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса R=1 км.